2.3.2抛物线的简单几何性质一、选择题1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小()A．小于90°B．等于90°C．大于90°D．不能确定[答案]C[解析]过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－1，2)，则它的方程是()A．y＝2x2或y2＝－4xB．y2＝－4x或x2＝2yC．x2＝－yD．y2＝－4x[答案]A[解析] 抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，∴抛物线的方程为标准形式．当抛物线的焦点在x轴上时， 抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．∴22＝－2p(－1)．∴p＝2.∴抛物线的方程为y2＝－4x.当抛物线的焦点在y轴上时， 抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．∴(－1)2＝2p·2，∴p＝.∴抛物线的方程为x2＝y.[点评]将点(－1,2)的坐标代入检验，易知选A．3．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A．2B．4C．8D．16[答案]B[解析]根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A．B．1C．2D．4[答案]C[解析]本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，由题意知，3＋＝4，p＝2.5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A．B．1C．D．[答案]C[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋＝3，∴x1＋x2＝，∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝()A．1B．C．2D．3[答案]C[解析]本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积． ＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设A(－，)，B(－，－)，则AB＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝××p＝，即p2＝4，又p>0，∴p＝2.二、填空题7．若点(a，b)是抛物线x2＝2py(p>0)上的一点，则下列点中一定在抛物线上的是________.①(a，－b)；②(－a，b)，③(－a，－b)[答案]②[解析]抛物线x2＝2py关于y轴对称，∴点(a，b)关于y轴的对称点(－a，b)一定在抛物线上．8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.[答案](－9，－6)或(－9,6)[解析]由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．9．(2015·长春市调研)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|>|FB|，则＝________.[答案]3＋2[解析]抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋2，x2＝3－2，故由抛物线的定义可得＝＝3＋2.三、解答题10．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？[解析]如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，∴抛物线方程为x2＝－104y.当x＝2时，4＝－104y，y＝－， 6.5－>6，∴能安全通过．一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－2B．－1C．2D．3[答案]C[解析]由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则＝4，即k＝2.2．双曲线－＝1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A．B．C．D．[答案]A[解析]由条件知，解得.∴mn＝，故选A．3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2[答案]B[解析]设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA...
