3.2.1空间向量与平行关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是()A．l⊥αB．l∥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α【答案】D[因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u，所以l∥α或l⊂α.]2．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则y＋z等于()A．－3B．0C．1D．3【答案】B[由题意，得AB＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0，故选B．]3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B．C．D．【答案】B[对于B，AP＝，则n·AP＝(3,1,2)·＝0，∴n⊥AP，则点P在平面α内．]4．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内【答案】D[ AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．]5．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．α∥β或α与β重合【答案】D[因为n＝－3m，所以m∥n，因此α∥β或α与β重合．]二、填空题6．如图325，在正三棱锥SABC中，点O是△ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________．图325【答案】SO，BC[由题意知SO⊥平面ABC，BC⊥平面SAD．基础篇1因此平面ABC的一个法向量可以是SO，平面SAD的一个法向量可以是BC.]7．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.【答案】－[由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.]8．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________.【答案】－3[ l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝xAB＋yAC，AB＝(1,0，－1)，AC＝(0,1，－1)，∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，∴∴m＝－3.]三、解答题9．如图326，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：图326(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D．【答案】(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D，所以DA＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．由于MN＝(0,1，－1)，则MN·DA＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN⊥DA.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D．(2)由于MP＝(0,2,0)，DC＝(0,2,0)，所以MP∥DC，即MP∥DC．由于MP⊄平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D．又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D．10.如图327，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．2图327【答案】分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0),设E(0，y，z)，则PE＝(0，y，z－1)，PD＝(0,2，－1)， PE∥PD，∴y(－1)－2(z－1)＝0，① AD＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，CE＝(－1，y－1，z)，∴由CE∥平面PAB,可得CE⊥AD，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0，∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB．1．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝与平面α都平行，则向量a等于()A．B．C．D．【答案】D[由题意，知a·b＝0，a·c＝0，即，解得，所以a＝.]2．已知AB＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2,4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为()A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交但不垂直D．AB∥α【答案】D[因为n·AB＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥AB.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D．]3．若A，B，C是平面...
