函数的单调性与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在上是减函数,在上是增函数D.在上是增函数,在上是减函数【解析】选A.因为f′(x)=1+>0,所以函数在(0,6)上是单调增函数.2.(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)【解题指南】把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键.【解析】选D.由条件知f′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立,所以k≥1.3.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是()A.y=sinxB.y=xexC.y=x3-xD.y=lnx-x【解析】选B.A中,y′=cosx,当x>0时,y′的符号不确定;B中,y′=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y′>0,故在(0,+∞)内为增函数;C中:y′=3x2-1,当x>0时,y′>-1;D中,y′=-1,当x>0时,y′>-1.【补偿训练】下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是()A.y=2-3x2B.y=lnxC.y=D.y=sinx【解析】选C.A中,y′=-6x,当-1
0,当00对x∈(-1,1)恒成立,所以函数y=sinx在(-1,1)上是增函数.4.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是()【解题指南】由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方),确定f(x)的单调性,对比f(x)的图象,用排除法求解.【解析】选C.由f′(x)的图象知,当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.只有C符合题意.5.(2015·烟台高二检测)设函数f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调,则实数a的取值范围是()A.a>B.00)在(0,3)内不单调,所以f′(x)在(0,3)内有零点.而f′(x)=ax2-2x有零点0,(a>0),2所以0<<3,解得a>.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调递减区间是________.【解析】因为f′(x)=3x2-30x-33=3(x+1)(x-11).由f′(x)<0,得-10,所以f(x)的单调递减区间为.答案:8.(2015·盐城高二检测)使y=sinx+ax在R上是增函数的a的取值范围为________.【解析】因为f′(x)=cosx+a≥0,所以a≥-cosx,又-1≤cosx≤1,所以a≥1.答案:[1,+∞)【误区警示】解答本题易出现以下两种错误一是认为f′(x)>0,得出a>1;二是由a≥-cosx,得出a≥-1的结论.三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·金昌高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.(1)求a,b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)因为函数f(x)的图象过点P(1,2),所以f(1)=2.所以a+b=1.①又函数图象在点P处的切线斜率为8,所以f′(1)=8.又f′(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.②解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.(2)由(1)得f′(x)=3x2+8x-3,令f′(x)>0,可得x<-3或x>;3令f′(x)<0,可得-30,xcosx>0,故y′>0,所以y=xsinx+cosx在上是增函数.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线,则函数y=f(x)的图象的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由题意可设f(x)=ax2+bx,f′(x)=2ax+b,由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线,故2a>0,b>0,则f(x)=a-,顶点在第三象限.2.(2015·福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的...
