习题课——导数运算及几何意义的综合问题课后训练案巩固提升一、A组1.(2016东北育才学校期中考试)已知奇函数f(x)满足f'(-1)=1,则limΔx→0f(Δx-1)+f(1)Δx=()A.1B.-1C.2D.-2解析:由f(x)为奇函数,得f(1)=-f(-1),所以limΔx→0f(Δx-1)+f(1)Δx=limΔx→0f(-1+Δx)-f(-1)Δx=f'(-1)=1,故选A.答案:A2.(2016四川绵阳高二月考)若曲线f(x)=13x3+x2+mx的切线中,只有一条与直线x+y-3=0垂直,则实数m的值等于()A.2B.0C.0或2D.3解析:依题意,只有一条切线的斜率等于1,又f'(x)=x2+2x+m,所以方程x2+2x+m=1只有一个实数根,于是Δ=4-4(m-1)=0,解得m=2.答案:A3.已知f(x)=f'(1)x+4x,则f'(1)=()A.1B.4C.2D.-1解析:因为f(x)=f'(1)x+4x,所以f'(x)=-f'(1)x2+4.因此f'(1)=-f'(1)12+4,解得f'(1)=2.答案:C4.经过点(3,0)的直线l与抛物线y=x22的两个交点处的切线相互垂直,则直线l的斜率k等于()A.-16B.-13C.12D.-12解析:设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x-3),设直线l与抛物线的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由{y=x22,y=k(x-3),得x2-2kx+6k=0,所以x1x2=6k.又对y=x22求导有y'=x,所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为x1,x2,于是有x1x2=6k=-1,所以k=-16.答案:A5.(2016山西朔州高二月考)观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,可推得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:由已知可以看出:奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.答案:D16.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在(0,π2)上不是凸函数的是()A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe-x解析:若f(x)=sinx+cosx,则f″(x)=-sinx-cosx,在(0,π2)上,恒有f″(x)<0;若f(x)=lnx-2x,则f″(x)=-1x2,在(0,π2)上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-x3+2x-1,则f″(x)=-6x,在(0,π2)上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-xe-x=-xex,则f'(x)=x-1ex,f″(x)=2-xex.在(0,π2)上,恒有f″(x)>0,故选D.答案:D7.(2016惠州一中月考)已知函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y-3=0,则f(2)+f'(2)=.解析:切线2x+y-3=0的斜率为-2,所以f'(2)=-2.又切点在切线上,所以2×2+y-3=0.因此y=f(2)=-1,故f(2)+f'(2)=-1+(-2)=-3.答案:-38.已知a=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,b=limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx,c=limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx,d=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0-Δx)Δx,e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0,则a,b,c,d,e中有相等关系的是.解析:容易推得c=d,又在e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0中,若令x-x0=Δx,则该式可化为e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,所以a=e,因此具有相等关系的是c=d,a=e.答案:c=d,a=e9.在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线的方程为.解析:由导数的几何意义知,曲线y=x3+3x2+6x-10上每一点处的切线的斜率等于函数f(x)=x3+3x2+6x-10在该点处的导数,因此曲线切线的斜率k=f'(x)=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3,当x=-1时斜率取到最小值3,此时,切点为(-1,-14),切线方程为y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.答案:3x-y-11=010.已知曲线y=x2+1,问是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.解:因为y=x2+1,所以y'=2x.设切点为(t,t2+1),所以切线斜率为y'|x=t=2t,于是切线方程为y-(t2+1)=2t(x-t),将(1,a)代入,得a-(t2+1)=2t(1-t),即t2-2t+(a-1)=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且a的取值范围是a<2.二、B组1.(2016河北承德高二月考)已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2+a(a为常数),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1,则实数a的值为()2A.1B.-1C.-12D.2解析: f(1)=0,∴直线l过点(1,0). f'(x)=1x,∴f'(1)=1.∴直线l的方程为y=x-1. g(x)=12x2+a,∴g'(x)=x.设直线l与函数g(x)的图象的切点的横坐标为x0,由导数的几何意义,可知g'(x0)=x0=1,将x0=1代入直线l的方程,可得切点的纵坐标为0,即切点为(1,0),将其代入g(...
