第三章变化率与导数测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于()A.4B.4ΔxC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2解析:=4+2Δx.答案:C2.若f'(x0)=-3,则=()A.-3B.-12C.-9D.-6解析:法一(注重导数概念的应用的解法):因为f'(x0)==-3,所以===+3=f'(x0)+3f'(x0)=4f'(x0)=-12,故选B.法二(注重导数定义中各变量的联系的解法):因为f'(x0)==-3,所以1=4=4f'(x0)=-12,故选B.答案:B3.数列{cn}为等比数列,其中c1=2,c8=4,f(x)=x(x-c1)(x-c2)…(x-c8),f'(x)为函数f(x)的导函数,则f'(0)=()A.0B.26C.29D.212解析: c1=2,c8=4,∴c1c2…c8=84=212,f'(x)=(x-c1)(x-c2)…(x-c8)+x[(x-c1)(x-c2)…(x-c8)]',则f'(0)=c1c2…c8=212.答案:D4.已知函数f(x)的导函数f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+lnx,则f'(1)=()A.-eB.-1C.1D.e解析: f(x)=2xf'(1)+lnx,∴f'(x)=[2xf'(1)]'+(lnx)'=2f'(1)+,∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.答案:B5.函数f(x)=excosx的图像在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为()A.B.0C.钝角D.锐角解析: f'(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx)=excos,∴f'(3)=e3cos,又 cos<0,∴f'(3)<0,∴切线的倾斜角为钝角.答案:C6.曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为()A.2x+y-1=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x+y-3=0解析:因为y'=,所以切线斜率k==-2,于是切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.答案:A7.若函数f(x)满足f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为()A.0B.2C.1D.-12解析:f'(x)=x2-2f'(1)x-1,所以f'(1)=1-2f'(1)-1,则f'(1)=0.答案:A8.函数y=lnx在x=e2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B.e2C.2e2D.e2解析:y'=,∴在x=e2处的切线斜率为k=,∴切线方程为y-2=(x-e2).令x=0,得y=1.令y=0,得x=-e2,∴所求三角形的面积为×1×e2=e2.答案:B9.已知函数f(x)=x-x2,若该函数图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角是图像在点的切线的倾斜角的两倍,则x0的值等于()A.3B.-3C.0D.解析:f'(x)=x,所以图像在点的切线的斜率k=,因此倾斜角为60°,从而图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角应为120°,斜率为-,于是x0=-,解得x0=3.答案:A10.函数y=(3x2+x+1)(2x+3)的导数是()A.(6x+1)(2x+3)B.2(6x+1)C.2(3x2+x+1)D.18x2+22x+5解析: y=(3x2+x+1)(2x+3)=6x3+11x2+5x+3,∴y'=18x2+22x+5.答案:D11.函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线与圆x2+y2=50的位置关系为()A.相切B.相交但不过圆心C.过圆心D.相离解析: f(x)=x3+4x+5,∴f'(x)=3x2+4,∴f'(1)=7.当x=1时,f(1)=10,∴切线方程为y-10=7(x-1),即7x-y+3=0,3∴圆心到切线的距离为d=,∴切线与圆相交但不过圆心.答案:B12.已知f'(x0)=,f(3)=2,f'(3)=-2,则的值是()A.4B.6C.8D.不存在解析:==-3=-3f'(3)+=-3f'(3)+2=8.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017全国Ⅰ高考)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.解析:设y=f(x),则f'(x)=2x-,所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.答案:y=x+114.(2017天津高考)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.解析: f(x)=ax-lnx,∴f'(x)=a-,f'(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.答案:115.(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为.4解析: f'(x)=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.答案:316.若曲线f(x)=x-2在点(a,a-2)(a>0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3,则loa=.解析:求导得f'(x)=-2x-3,所以在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2;令y=0,得x=.所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积S=×3a-2×a=3,解得a=,∴loa=2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.解因为函数f(x),g(x)的图像都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t≠0,所以a=-t2.g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab.又因为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f'(t)=g'(t).而f'(x)=3x2+a,g'(...
