2.8函数与方程核心考点·精准研析考点一判断函数零点所在区间1.已知实数a>1,01,00,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.2.选D.令f(x)=0得x=lnx.作出函数y=x和y=lnx的图象,如图,显然y=f(x)在内无零点,在(1,e)内有零点.3.选B.因为函数y=x2与y=的图象交点为(x0,y0),则x0是方程x2=的解,也是函数f(x)=x2-的零点.因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(2)=22-1=3>0,f(1)=1-2=-1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零点存在性定理可知,方程的解在(1,2)内.4.选A.因为a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理.(2)数形结合法.【秒杀绝招】用特殊值法可解T2.考点二确定函数零点的个数【典例】1.函数f(x)=|x-2|-lnx零点的个数为()A.0B.1C.2D.32.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为()A.2B.3C.4D.53.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是()A.9B.10C.11D.18【解题导思】序号联想解题1由f(x)=|x-2|-lnx的零点,想到|x-2|=lnx.2由f(x)=2sinx-sin2x,想到化简,令f(x)=0求sinx与cosx的值.3由F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数,想到f(x)=|lgx|.【解析】1.选C.作出函数y=|x-2|与g(x)=lnx的图象,如图所示.由图象可知两个函数的图象有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.2.选B.令f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,则sinx=0或cosx=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三个零点.3.选B.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|lgx|的大致图象如图,由图象可知,它们共有10个不同的交点,因此函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是10.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图象的交点个数判断.1.函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=3+1-2=2>0,即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点.2.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.令f(x)+3x=0,则或解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.3.已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是________.【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.答案:5考点三函数零点的应用命题精解读考什么:(1)由函数的零点有无、个数求参数值或范围、图象的交点、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.怎么考:多以选择、填空题的形式考查.新趋势:以函数图象与性质为载体,图象与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.学已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路:霸好方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.由零点的个数求参数值或范围【典例】已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+...
