【金版学案】2015-2016学年高中数学1.1.2余弦定理练习新人教A版必修5►基础梳理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即________________；________________；______________．2．(1)△ABC中，用三边a、b、c表示cosC＝________________________________________________________________________.(2)在△ABC中，已知a＝3，b＝4，c＝6，求cosC的值．3．在△ABC中，已知C＝90°，三边a、b、c的关系为：____________(勾股定理)．4．在△ABC中，三边a、b、c满足c2＞a2＋b2，则cosC是正数还是负数？______，角C是锐角还是钝角？______，由此可知△ABC是什么三角形？____________．5．在△ABC中，已知cosC＝－，则sinC＝______．6．运用余弦定理可以解决两类解三角形的问题．(1)已知三边，求________．(2)已知________和它们的________，求第三边和其他两个角．基础梳理1．a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2cacosBc2＝a2＋b2－2abcosC2．(1)(2)解析：由余弦定理得：cosC＝＝－.3．c2＝a2＋b24．负数钝角钝角三角形5.6．(1)三角(2)两边夹角►自测自评1．(2014·东北三省二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝()A.B.C.D.2．(2013·上海卷)在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若a＝5，c＝8，B＝60°，则b＝________．3．△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C大小为()A．60°B．45°或135°C．120°D．30°自测自评11．解析：由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理得：＝⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝，所以B＝.答案：C2．73．A►基础达标1．△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为()A．5B．8C．5或－8D．－5或81．解析：由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC，∴49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0.∵b＞0，∴b＝8.故选B.答案：B2．在△ABC中，已知三边a＝3，b＝5，c＝7，则三角形ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．解析：何种三角形取决于最大的角．最长的边所对的角最大，由余弦定理知：cosC＝＝－＜0，所以C为钝角，故选C.答案：C3．在△ABC中，有下列结论：①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；③若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个3．解析：①cosA＝＜0，∴A为钝角，正确；②cosA＝＝－，∴A＝120°，错误；③cosC＝＞0，∴C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶∶2，错误．答案：A4．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°4．B5．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则∠A＝________．5．解析：由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)得b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝－，A＝120°.答案：120°►巩固提高6．已知在△ABC中，＝，则此三角形为()2A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形6．解析：由＝知＝，化简得b＝c.答案：C7．三角形三边长分别为a，b，(a＞0，b＞0)，则最大角为________．7．解析：易知：＞a，＞b，设最大角为θ，则cosθ＝＝－，又θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°.答案：120°8．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．8．解析：设另两边长分别为8x，5x(x>0)，则cos60°＝，解得x＝2或x＝－2(舍去)．故另两边长分别是16，10.所以这个三角形的面积S＝×16×10×sin60°＝40.答案：409．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数．9．解析：因为sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，由正弦定理得：b2－c2－a2＝ac，由余弦定理得：cosB＝＝－，又0°＜B＜180°，∴B＝150°.10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长．10．解析：(1)∵cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．2．余弦定理的应用范围是：(1)已知三边求三角；(2)已知两边及一个内角，求第三边．3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理时可能有两个解，注意用三边长度关系特点3进行取舍．4
