二、极坐标A级基础巩固一、选择题1．点P的直角坐标为(1，－)，则它的极坐标是()A.B.C.D.解析：ρ＝2，tanθ＝－，因为点P(1，－)在第四象限，故取θ＝－，所以点P的极坐标为.答案：C2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为()A．(π，0)B．(π，2π)C．(－π，0)D．(－2π，0)解析：x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．答案：A3．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()A.B.C.D.解析：点P的直角坐标是(－3，3)，极坐标是.答案：A4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是()A．关于极轴所在直线对称B．关于极点对称C．关于过极点与极轴垂直的直线对称D．重合解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M，N位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．答案：B二、填空题5．在极坐标系中，已知点A，B，则A、B两点间的距离为________．解析：由公式|AB|＝，得|AB|＝＝＝.答案：6．已知A，B两点的极坐标为，，则线段AB中点的直角坐标为________．解析：因为A，B两点的极坐标为，，所以A，B两点的直角坐标是(3，3)，(－4，－4)，所以线段AB中点的直角坐标是.答案：7．在极坐标系中，O为极点，若A，B，则△AOB的面积等于________．解析：点B的极坐标可表示为，则∠AOB＝－＝，1故S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×3×4·sin＝3.答案：38．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.答案：3三、解答题9．在极坐标系中，如果A，B为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．解：对于点A有ρ＝2，θ＝，所以x＝2cos＝，y＝2sin＝，则A(，)．对于B有ρ＝2，θ＝，所以x＝2cos＝－，y＝2sin＝－.所以B(－，－)．设点C的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.所以解得或所以点C的坐标为(，－)或(－，)．当x＝，y＝－，即点C在第四象限时，有ρ＝2，tanθ＝－1，所以ρ＝2，θ＝π.当x＝－，y＝，即点C在第二象限时，有ρ＝2，θ＝π.故点C的极坐标为或.10.如果对称点的极坐标定义如下：当已知M(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈R)时，点M关于极点O的对称点M′(－ρ，θ)．例如，M关于极点O的对称点M′，就是说与表示的就是同一点．已知A点的极坐标是，分别在下列给定条件下，写出A点的极坐标：(1)ρ＞0，－π＜θ≤π.(2)ρ＜0，0≤θ＜2π.(3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.解：如图所示，|OA|＝|OA′|＝6，∠xOA′＝，∠xOA＝，即点A与A′关于极点O对称．由极坐标的定义知(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A.2(2)当ρ＜0，0≤θ＜2π时，A.(3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A.[B级能力提升]1．已知两点的极坐标为A，B，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为________．解析：在极坐标系Ox中作出点A和B，如图所示，则|OA|＝|OB|＝3，∠AOx＝，∠BOx＝，所以∠AOB＝.所以△AOB为正三角形，从而|AB|＝3，直线AB的倾斜角为π－＝.答案：32．已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0，2π)时，点P的极坐标为________．解析：因为点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，所以x＝－2，且y＝－2，所以ρ＝＝2，又tanθ＝＝1，且θ∈[0，2π)，所以θ＝.因此点P的极坐标为.答案：3．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B，C.(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．解：(1)如图所示，由A，B(2，π)，C.得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，所以△AOB≌△BOC≌△AOC，所以AB＝BC＝CA，故△ABC为等边三角形．(2)由(1)可知，|AC|＝2|OA|sin＝2×2×＝2.所以S△ABC＝×(2)2＝3.3
