第七章立体几何第六节空间向量及其运算和空间位置关系1.（2014广东，5分）.已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1,1,0)B．(1，－1,0)C．(0，－1,1)D．(－1,0,1)解析：各选项给出的向量的模都是，|a|＝.对于选项A，设b＝(－1,1,0)，则cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.对于选项B，设b＝(1，－1,0)，则cos〈a，b〉＝＝＝.因为0°≤〈a，b〉<180°，所以〈a，b〉＝60°，正确．对于选项C，设b＝(0，－1,1)，则cos〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.对于选项D，设b＝(－1,0,1)．则cos〈a，b〉＝＝＝－1.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°，故选B.答案：B2.（2014北京，5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1解析：根据题目条件，在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥D－ABC，显然S1＝S△ABC＝×2×2＝2，S2＝S3＝×2×＝.故选D.答案：D3.（2014江西，5分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12)．遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2,3,4)，L1＝AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()解析：选C根据反射的对称性，质点是在过A，E，A1的平面内运动．因为<，所以过A，E，A1作长方体的截面AA1NM如图所示．设点A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′，易知它在z轴上，且A′A1＝AA1＝12，连接A′E并延长交平面ABCD于点E1，因为A1E＝5，所以AE1＝10，且E1到AB，AD的距离分别为6,8，即E1(8,6,0)，而它在线段AM上，从而知L1＝AE＝EE1＝L2；事实上，只需要在AA1NM内，过E1作AE的平行线交MN于点E2，再过E2作E1E的平行线交A1N于点E3，可知EE1>E2E3＝L4>E1E2＝L3，故L1＝L2>L4>L3，故选C.答案：C4.（2014湖北，5分）在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析：选D在空间直角坐标系O－xyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.答案：D5.（2013浙江，15分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角CBMD的大小为60°，求∠BDC的大小．解：本题考查空间线面平行的证明，二面角的计算，以及三角形的有关知识，考查考生的推理论证能力、空间想象能力，以及利用空间向量解决相关问题的能力．法一：(1)证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OP，OF，FQ.因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝AD.因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以OP∥DM，且OP＝DM.又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝AD.从而OP∥FQ，且OP＝FQ，所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD.(2)作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，连接CH.因为AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，所以AD⊥CG，又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM⊂平面ABD，所以CG⊥BM.又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，∴BM⊥CH，所以∠CHG为二面角CBMD的平面角，即∠CHG＝60°.设∠BDC＝θ.在Rt△BCD中，CD＝BDcosθ＝2cosθ，CG＝CDsinθ＝2cosθsinθ，BC＝BDsinθ＝2sinθ，BG＝BCsinθ＝2sin2θ.在Rt△BDM中，HG＝＝.在Rt△CHG中，tan∠CHG＝＝＝.所以tanθ＝.从而θ＝60°，即∠BDC＝60°.法二：(1)证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)．因为＝3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0...
