高考数学异构异模复习 第四章 三角函数 4.4.2 解三角形及其综合应用撬题 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2018高考数学异构异模复习考案第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用撬题文1．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()A．5B.C．2D．1答案B解析由题意知S△ABC＝AB·BC·sinB，即＝×1×sinB，解得sinB＝.∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝1.此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝5，解得AC＝.符合题意．故选B.2．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()A．bc(b＋c)>8B．ab(a＋b)>16C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24答案A解析由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋得，sin2A＋sin[A－(B－C)]＋sin[A＋(B－C)]＝，所以sin2A＋2sinAcos(B－C)＝.所以2sinA[cosA＋cos(B－C)]＝，所以2sinA[cos(π－(B＋C))＋cos(B－C)]＝，所以2sinA[－cos(B＋C)＋cos(B－C)]＝，即得sinAsinBsinC＝.根据三角形面积公式S＝absinC，①S＝acsinB，②S＝bcsinA，③因为1≤S≤2，所以1≤S3≤8.将①②③式相乘得1≤S3＝a2b2c2sinAsinBsinC≤8，即64≤a2b2c2≤512，所以8≤abc≤16，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b＋c>a，得bc(b＋c)>8一定成立，而a＋b>c，ab(a＋b)也大于8，而不一定大于16，故选A.3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＋b＝λ，若△ABC面积的最大值为9，则λ的值为()A．8B．12C．16D．21答案B解析S△ABC＝absinC＝ab≤·2＝λ2＝9，当且仅当a＝b时取“＝”，解得λ＝12.4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.答案100解析依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°.在△ABC中，由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°，因为AB＝600m，由正弦定理可得＝，即BC＝300m．在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝300m，所以tan30°＝＝，所以CD＝100m.5．在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．答案解析由AB·AC＝tanA，可得|AB||AC|cosA＝tanA.因为A＝，所以|AB||AC|·＝，即|AB||AC|＝.所以S△ABC＝|AB||AC|·sinA＝××＝.6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值等于________．答案16解析依题意可得sinB＝，又S△ABC＝acsinB＝42，则c＝14.故b＝＝6，所以b＋＝b＋＝16.7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．答案30°解析设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝＝⇒sin∠BAC＝.又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°，60°－30°＝30°.8．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．解(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.(2)由正弦定理知，＝，所以sinC＝·sinA＝＝.因为AB0，所以A∈.于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－22＋.因为0