高中数学 第一章 解三角形 1.2.2 三角形中的几何计算练习（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

第6课时三角形中的几何计算知识点一三角形的面积问题1．已知三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两条边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．答案40解析设另两条边分别为8t，5t，t＞0，则142＝(8t)2＋(5t)2－2×8t×5t×cos60°，得49t2＝142，t＝2，故S＝×16×10×sin60°＝40．2．在△ABC中，a，b，c为它的三边，且三角形的面积为，则角C等于________．答案解析 S＝absinC＝，∴sinC＝．又cosC＝，∴sinC＝cosC．∴∠C＝．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝，B＝60°，b＝．(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解(1) 角A，B，C为三角形内角，且B＝60°，cosA＝．∴C＝120°－A，sinA＝．∴sinC＝sin(120°－A)＝cosA＋sinA＝．(2)由(1)知，sinA＝，sinC＝．又 B＝60°，b＝，∴由正弦定理，得a＝＝，∴S△ABC＝absinC＝×××＝．4．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝．(1)若△ABC的面积等于，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4．又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4，联立方程组解得a＝2，b＝2．(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA．当cosA＝0时，A＝，B＝，∴a＝，b＝．∴△ABC的面积S＝··b＝．当cosA≠0时，sinB＝2sinA，1由正弦定理，知b＝2a，联立方程组解得∴△ABC的面积S＝absinC＝．知识点二三角形中的几何计算5．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝＋1，AD＝，∠ABC＝120°，∠DAB＝75°，则CD＝()A．B．2C．2D．＋1答案A解析如图，过点D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB的延长线于F，则DE∥CF，∠CBF＝60°，DE＝ADsin∠DAB＝×sin(45°＋30°)＝×＝，CF＝BCsin∠CBF＝(＋1)×＝，所以四边形DEFC是矩形，CD＝EF＝AB－AE＋BF，因为AE＝ADcos∠DAB＝×cos(45°＋30°)＝×＝，BF＝BCcos∠CBF＝(＋1)×＝，所以CD＝1－＋＝．故选A．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B－5cos(A＋C)＝2．(1)求角B的大小；(2)若cosA＝，△ABC的面积为10，求BC边上的中线长．解(1)由题易知2cos2B－1＋5cosB＝2，即2cos2B＋5cosB－3＝0，解得cosB＝或cosB＝－3(舍去)．又0＜B＜π，∴B＝．(2) cosA＝，∴sinA＝．∴S△ABC＝bcsinA＝10，∴bc＝35．①由正弦定理，得＝，又sin＝sinA＋cosA＝，∴5b＝7c，②由①②知，b＝7，c＝5，∴由余弦定理，得a＝＝8，2∴BC边上的中线长为＝．7．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2．(1)求角C；(2)求边a的长．解(1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，sinC＝＝，则C＝60°．(2)由余弦定理，可知c2＝a2＋b2－2abcosC，则()2＝42＋a2－2×4×a×，即a2－4a－5＝0．所以a＝5或a＝－1(舍去)．因此所求角C＝60°，边a长为5．易错点一解三角形时忽视解的个数8．已知△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．易错分析三角形内角的正弦值都是正数，而这个内角可能是锐角，也可能是钝角，该题求出sinC后易丢掉C＝120°的情况漏解面积．解由正弦定理，得sinC＝＝＝． AB＞AC，∴C＝60°或C＝120°．当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝AB·AC＝2；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·ACsinA＝．故△ABC的面积为2或．易错点二忽略角的隐含范围9．在△ABC中，B＝3A，求的取值范围．易错分析解三角形时角的范围至关重要，该题中易由A，B为三角形内角得A∈(0°，60°)致错，所以审题时要仔细挖掘隐含条件．解由正弦定理得＝＝＝＝＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1． A＋B＋C＝180°，B＝3A．∴A＋B＝4A＜180°，∴0°＜A＜45°．∴＜cosA＜1，∴1＜4cos2A－1＜3，∴1＜＜3．34一、选择题1．已知圆的半径R＝4，a，b，c为该圆的一个内接三角形的三条边，若abc＝16，则该三角形的面积为()A．2B．8C．D．答案C解析S＝absinC＝ab·＝＝＝．故选C．2．已知三角形的两边之差为2，夹角的余弦为，面积为6，那么这个三角形的两边分别为()A．1和3B．2和4C．3和5D．4和6答案C解析设该三角形的某两边为b，c，夹角为A．...