第7讲不等式的恒成立与存在性问题1.(2018江苏徐州铜山中学高三期中)函数f(x)=2sin(π3x+14)的最小正周期为.2.(2018江苏如东高级中学高三期中)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则实数m=.3.已知函数y=3sin(2x+π4),x∈[0,π2]的单调增区间为[0,m],则实数m的值为.4.已知正数x,y满足x+2y=2,则x+8yxy的最小值为.5.已知实数x,y满足{2x-y-2≥0,x+y-4≤0,y-1≥0,则yx的最小值为.6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.若C=π3,则ab=.7.在△ABC中,点P是边AB的中点,已知|⃗CP|=√3,|⃗CA|=4,∠ACB=2π3,则⃗CP·⃗CA=.8.若不等式mx2-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2的所有m都成立,则实数x的取值范围是.9.已知向量m=(2x-1,1),n=(1,x)的夹角为锐角,求实数x的取值范围.110.(2018江苏泰州中学月考)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+b.(1)若f(x)<0的解集为(-1,3),求a,b的值;(2)当a=1时,若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,求实数b的取值范围;(3)当b=a时,解关于x的不等式f(x)<0(结果用a表示).2答案精解精析1.答案6解析最小正周期T=2ππ3=6.2.答案8解析a+b=(4,m-2),则(a+b)·b=(4,m-2)·(3,-2)=12-2m+4=0,解得m=8.3.答案π8解析由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z,当k=0时,一个递增区间是[-3π8,π8],则m=π8.4.答案9解析因为x,y为正数,且x+2y=2,x+8yxy=(1y+8x)(x2+y)=x2y+8yx+5≥2√x2y·8yx+5=9,当且仅当x=4y=43时等号成立,所以x+8yxy的最小值为9.5.答案13解析作出约束条件对应的平面区域,是以点(3,1)、(2,2)和(32,1)为顶点的三角形(如图),yx的几何意义是区域上的点与坐标原点连线的斜率,当(x,y)取点(3,1)时,yx取得最小值,为13.36.答案1解析由sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1得sinAsinB+sinBsinC=1-cos2B=2sin2B.由正弦定理可得ab+bc=2b2,即a+c=2b.由余弦定理可得(2b-a)2=a2+b2-2abcosC,化简得a=b,故ab=1.7.答案6解析以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-2,2√3).设B(a,0),则P(a-22,√3),|⃗CP|2=(a-22)2+3=3,解得a=2,则P(0,√3),所以⃗CP·⃗CA=(0,√3)·(-2,2√3)=6.8.答案(-1+√72,1+√32)解析已知不等式可以化为(x2-1)m+1-2x<0.设f(m)=(x2-1)m+1-2x,这是一个关于m的一次函数(或常数函数),要使f(m)<0在-2≤m≤2恒成立,其等价条件是{f(2)=2(x2-1)+1-2x<0,f(-2)=-2(x2-1)+1-2x<0,整理得{2x2-2x-1<0,2x2+2x-3>0,解得-1+√72
0且m,n不平行,所以2x-1+x>0且(2x-1)x-1=(2x+1)(x-1)≠0,解得x>13且x≠1,所以实数x的取值范围为(13,1)∪(1,+∞).10.解析(1)因为f(x)=x2-(a+1)x+b<0的解集为(-1,3),所以x2-(a+1)x+b=0的两个根为-1和3,所以{(-1)2-(a+1)(-1)+b=0,32-(a+1)·3+b=0,解得a=1,b=-3.(2)当a=1时,f(x)=x2-2x+b,因为对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,所以Δ=(-2)2-4b≤0,解得b≥1,所以实数b的取值范围是[1,+∞).4(3)当b=a时,f(x)<0即x2-(a+1)x+a<0,即(x-1)(x-a)<0.当a<1时,a1时,11时,不等式f(x)<0的解集为{x|1
