高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式限时规范训练 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

3.4基本不等式【基础练习】1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝＋B．y＝lgx＋(1＜x＜10)C．y＝3x＋3－x(x∈R)D．y＝sinx＋【答案】C【解析】＋≥2，当且仅当＝，即x2＋2＝1时，等号成立，但x2＋2＝1显然不成立，∴A不正确．lgx＋≥2，当且仅当lgx＝，即x＝10时，等号成立，而1＜x＜10，故等号不成立，∴B不正确.3x＋3－x≥2，当且仅当3x＝3－x，即x＝0时取等号，∴C正确．sinx＋≥2，当且仅当sinx＝1时取等号，而0＜x＜，等号不成立，∴D不正确．2．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D．【答案】B【解析】根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥4.当a＝b＝时“＝”成立．故选B．3．已知x＋3y＝2，则3x＋27y的最小值为()A．2B．4C．3D．6【答案】D【解析】 x＋3y＝2，∴3x＋27y≥2＝2＝2＝6，当且仅当x＝3y＝1时等号成立．故选D．4.(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B．C．3D．【答案】B【解析】因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．5．已知t＞0，则函数y＝的最小值是________．【答案】－2【解析】 t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．6．设a，b都是正数且满足＋＝1，则使a＋b＞c恒成立的实数c的取值范围是________．【答案】(－∞，9)【解析】 a，b均为正数，＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9.当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时取等号．∴a＋b＞c恒成立的实数c的取值范围是(－∞，9)．7．已知x＞0，y＞0.(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．【解析】(1) x＞0，y＞0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.又2x＋5y＝20，∴20≥2·，∴≤，∴xy≤10，1当且仅当2x＝5y时，等号成立．∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.这样u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，umax＝1.(2)由已知，得xy＝100，5x＋2y≥2＝2＝20.∴当且仅当5x＝2y＝10，即当x＝2，y＝5时，等号成立．∴5x＋2y的最小值为20.8．已知直角三角形两条直角边长的和等于10cm，求面积最大时斜边的长．【解析】设一条直角边长为xcm，(0＜x＜10)，则另一条直角边长为(10－x)cm，面积S＝x(10－x)≤2＝(cm2)，等号在x＝10－x即x＝5时成立，∴面积最大时斜边长L＝＝5(cm)．【能力提升】9．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为()A．0B．1C．D．3【答案】B【解析】＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立．故所求的最大值为1.10．若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为()A．1B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得a≥恒成立．由于＝≤(当且仅当x＝1时，取等号)，故的最大值为，∴a≥，即a得最小值为.故选C．11．(2019年山东潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则的最小值是()A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】 x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，∴d＝＝，∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1.∴＝＝2a＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当2a＝，即a＝时等号成立．∴的最小值为4.12．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．【答案】9【解析】因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以＝·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9.13．(2019年黑龙江齐齐哈尔校级月考)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．2【解析】(1)设该厂应x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，则面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝＋1800×6＝＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．即该厂应每隔10天购...