【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习考点强化课二习题理新人教A版一、填空题1.(2015·泰州一检)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA，则角B的大小为________.解析由正弦定理可知(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，∴b2－c2＝a2－ac，即a2＋c2－b2＝ac. cosB＝＝＝，∴B＝30°.答案30°2.(2015·南通调研)在△ABC中，cosA＝，cosB＝，BC＝4，则AB＝________.解析 cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝0，∴A＋B＝C＝，∴AB＝＝5.答案53.(2016·苏北四市模拟)在△ABC中，AC·cosA＝3BC·cosB，且cosC＝，则A＝________.解析由题意及正弦定理，得sinBcosA＝3sinAcosB，∴tanB＝3tanA，∴0°＜A，B＜90°，又cosC＝，故sinC＝，∴tanC＝2，而A＋B＋C＝180°，∴tan(A＋B)＝－tanC＝－2，即＝－2，将tanB＝3tanA代入，得＝－2，∴tanA＝1或tanA＝－，而0°＜A＜90°，则A＝45°.答案45°4.(2016·苏、锡、常、镇模拟)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC＝________.解析由A＋C＝2B，且A＋B＋C＝π，得到B＝，∴cosB＝，又a＝1，b＝，根据余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac·cosB，即c2－c－2＝0，解得c＝2，c＝－1(舍去)，又sinB＝，b＝，根据正弦定理＝得sinC＝＝＝1.答案15.(2016·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝1acosC，则sinA＋sinB的最大值是________.解析由csinA＝acosC，得sinCsinA＝sinAcosC，又在△ABC中sinA≠0，所以sinC＝cosC，tanC＝，C∈(0，π)，所以C＝.所以sinA＋sinB＝sinA＋sin＝sinA＋cosA＝sin，A∈，所以当A＝时，sinA＋sinB取得最大值.答案6.(2015·南京调研)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，则cosA＝________.解析由sinB＝sinC，得b＝c，代入a＋c＝2b，得a＝c，则由余弦定理得cosA＝＝＝.答案7.(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.解析因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.答案18.(2016·陕西八校联考)设△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且满足S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为________.解析 S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，∴bcsinA＝2bc－(b2＋c2－a2)＝2bc－2bccosA，即sinA＋4cosA＝4.联立解得sinA＝，∴S＝bcsinA＝bc≤×＝，当且仅当b＝c＝4时取等号.答案9.(2016·南京月考)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为________.解析设BD＝a，则由题意可得BC＝2a，AB＝AD＝a，在△ABD中，由余弦定理得cosA＝＝＝，所以sinA＝＝.在△ABC中，由正弦定理得，＝，所以＝，解得sinC＝.2答案二、解答题10.(2015·湖南卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角.(1)证明：B－A＝；(2)求sinA＋sinC的取值范围.(1)证明由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，所以sinB＝cosA，即sinB＝sin.又B为钝角，因此＋A∈，故B＝＋A，即B－A＝.(2)解由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以A∈.于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2＋.因为0＜A＜，所以0＜sinA＜，因此＜－2＋≤.由此可知sinA＋sinC的取值范围是.11.(2016·烟台一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝7.(1)求角C的大小；(2)求sin的值.解(1)由余弦定理，得cosC＝＝＝－. 0＜C＜π，∴C＝.(2)由正弦定理＝，得sinB＝＝＝， C＝，∴B为锐角，∴cosB＝＝＝.∴sin＝sinBcos＋cosBsin＝×＋×＝.12.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速3度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m...
