第2讲空间点、线、面的位置关系1．(2019·揭阳模拟改编)设平面α，β，直线a，b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的________条件．[解析]由平面与平面平行的判定定理可知，若直线a，b是平面α内两条相交直线，且a∥β，b∥β，则α∥β；当α∥β，若a⊂α，b⊂α，则a∥β，b∥β，因此“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．[答案]必要不充分2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A、E、C的平面的位置关系是________．[解析]连结AC、BD相交于一点O，连结OE、AE、EC，因为四边形ABCD为正方形，所以DO＝BO．而DE＝D1E，所以EO为△DD1B的中位线，所以EO∥D1B，所以BD1∥平面AEC．[答案]BD1∥平面AEC3．(2019·南京模拟)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA＝4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为________．[解析]因为PA⊥底面ABCD，所以PC在底面ABCD上的射影为AC，∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，tan∠PCA＝＝．[答案]4．(2019·南京、盐城模拟)已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是________．(填写所有真命题的序号)[解析]①错误，还有可能α，β相交；②错误，直线m，n可能平行、相交或异面；③④正确．[答案]③④5．(2019·镇江期末)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是________．(填序号)①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC．[解析]因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．1[答案]④6．(2019·无锡期末)已知两条直线m、n，两个平面α、β．给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是________．[解析]两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m∥n，m∥α时，n∥α或n⊂α，故③错；由α∥β，m⊥α得m⊥β，由m⊥β，n∥m得n⊥β，故④正确．[答案]①④7．(2019·苏州调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为________．[解析]如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT＝，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N＝，故NT＝2－－＝1，因为M为CC1的中点，故CM＝1，连接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四边形CMNT为平行四边形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近A处取一点Q′，使得AQ′＝，连接BQ′，TQ′，则有BQ′∥CT∥MN，故BQ′与MN共面，即Q′与Q重合，故AQ＝．[答案]8．如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于点E，AF⊥DC交DC于点F，且AD＝AB＝2，则三棱锥DAEF体积的最大值为________．[解析]因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF．又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB．又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥DAEF的高．因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝ab≤·＝×＝，所以三棱锥DAEF的体积V≤××＝(当且仅当a＝b＝1时等号成立)．[答案]9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC⊥BE；2②EF∥平面ABCD；③三棱锥ABEF的体积为定值；④△AEF的面积与△BEF的面积相等．[解析]因为AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BE，故①正确．因为B1D1∥平面...
