课时跟踪检测(六)柱坐标系与球坐标系简介一、选择题1．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的()A．球B．球面C．圆D．直线解析：选Br＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是()A.B.C.D.解析：选Cρ＝＝2，∵tanθ＝＝，x<0，y<0，∴θ＝，又z＝3，∴点M的柱坐标为.3．若点M的球坐标为，则它的直角坐标为()A．(－6,2，4)B．(6,2，4)C．(－6，－2，4)D．(－6,2，－4)解析：选A由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6,2，4)．4．若点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为()A.B.C.D.解析：选A设M的球坐标为(r，φ，θ)，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r＝＝2，由2cosφ＝－2得φ＝，又tanθ＝＝，x>0，y＞0，得θ＝，∴点M的球坐标为.故选A.二、填空题5．点P的柱坐标为，则点P到原点的距离为________．解析：x＝ρcosθ＝4cos＝2，y＝ρsinθ＝4sin＝2.即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点的距离为＝＝5.答案：56．点M(－3，－3,3)的柱坐标为________．解析：ρ＝＝＝3，∵tanθ＝＝1，x<0，y<0，∴θ＝，∴点M的柱坐标为.答案：7．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tanφ＝________，tanθ＝________.解析：如图所示，tanφ＝＝，tanθ＝＝2.1答案：2三、解答题8．设点M的直角坐标为(1,1，)，求点M的柱坐标与球坐标．解：由坐标变换公式，可得ρ＝＝，∵tanθ＝＝1，x>0，y>0，∴θ＝.r＝＝＝2.由rcosφ＝z＝(0≤φ≤π)，得cosφ＝＝，φ＝.所以点M的柱坐标为，球坐标为.9．已知点M的柱坐标为，点N的球坐标为，求线段MN的长度．解：设点M的直角坐标为(x，y，z)，由变换公式得，x＝ρcosθ＝cos＝1，y＝ρsinθ＝sin＝1，z＝3，∴点M的直角坐标为(1,1,3)，设点N的直角坐标为(a，b，c)，则a＝ρsinφ·cosθ＝2××0＝0，b＝ρsinφ·sinθ＝2××1＝，c＝ρcosφ＝2×＝，∴点N的直角坐标为(0，，)．∴|MN|＝＝.10.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系Axyz，以Ax为极轴．求点C1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式且得且得且结合图形，得θ＝，由cosφ＝得tanφ＝.所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为，球坐标为，其中tanφ＝，0≤φ≤π.23
