高中数学 4.2 导数在实际问题中的应用同步精练 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

高中数学4.2导数在实际问题中的应用同步精练北师大版选修1-11．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－37B．－29C．－5D．－112．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A.B.C.D.3．将一段长为100的铁丝截成两段，一段折成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆的面积之和最小时，圆的周长为()A．50B.C.D．254．把函数f(x)＝x3－3x的图像c1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像c2.若对任意u＞0，曲线c1与c2至多有一个交点，则v的最小值为()A．2B．4C．6D．85．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝(ax2＋bx)(ax－2＋bx－1)(ab＞0)，则f(x)()A．有最大值(a＋b)2，没有最小值B．有最小值(a＋b)2，没有最大值C．有最大值(a＋b)2，有最小值(a－b)2D．没有最值6．某公司生产某种产品，每年固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R＝则总利润最大时，每年生产产品的产量是()A．100B．150C．200D．3007．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a＞0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝______.8．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为______．9．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．10．已知函数f(x)＝ax3－12x，f(x)的导函数为f′(x)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f′(1)＝－6，求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．11．设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.(1)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，求b的取值范围．1参考答案1.解析：f′(x)＝6x2－12x，x∈[－2,2]，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.可得f(x)在[－2,0]上递增，在[0,2]上递减，故f(x)max＝f(0)＝m＝3，所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5.故f(x)的最小值为－37.答案：A2.解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±.f＝，f＝－，f(0)＝0，f(1)＝0，所以f(x)在[0,1]上的最大值为f＝.答案：A3.解析：设圆的周长为x，则正方形的周长为100－x，且0＜x＜100，所以圆的半径r＝，正方形的边长为25－.所以面积和S(x)＝x2＋2＝·x2－x＋625(0＜x＜100)．令S′(x)＝0，得x＝.答案：B4.解析：f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＞0，得x＞1或x＜－1.x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)2－2由此根据图像c1可得vmin＝4.答案：B5.解析：f(x)＝ab＋(a2＋b2)，f′(x)＝ab＝ab·. x∈(0，＋∞)，∴当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.∴f(x)在(0,1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，f(x)有最小值f(1)＝(a＋b)2，无最大值．答案：B6.解析：由题意知总成本为C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x＞400时，P′＜0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．答案：D7.解析：f′(x)＝4ax3－12ax2.令f′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝3.2由f(x)的单调性可知f(x)的最小值为f(3)＝b－27a.又f(1)＝b－3a，f(4)＝b，所以f(4)为最大值，即解得所以a＋b＝.答案：8.解析：设圆柱体的高为2h，则底面半径为，所以圆柱体的体积V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3，则V′＝2πR2－6πh2.令V′＝0，得h＝R，即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．答案：R9.解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6.设容器的容积为ym3，则有y＝x(0.5＋x)·(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)．所以y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)．由函数的单调性可知，当x＝1时，y取最大值，y最大＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)．所以当高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3.10.解：(1)f′(x)＝3ax2－12＝3(ax2－4)．当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，＋∞)上递减．当a＞0时，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－f′(x)＋0－0＋f(x)极...