2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若动点P到F1(－5,0)与P到F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是()A.＋＝1B.－＝1C.＋＝1D．－＝1解析：由题意知P点的轨迹是双曲线，因为c＝5，a＝4，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9.因为双曲线的焦点在x轴上，所以P点的轨迹方程为－＝1.答案：D2．双曲线－＝1的焦距为10，则实数m的值为()A．－16B．4C．16D．81解析：a2＝9，b2＝m，c2＝25，∴m＝25－9＝16.答案：C3．已知椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为()A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1解析：由题意知椭圆C1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝9，且2a＝4.∴a2＝4，b2＝5，故选A.答案：A4．k＞9是方程＋＝1表示双曲线的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：原方程表示双曲线的充要条件是(9－k)(k－4)＜0，即k＞9或k＜4，故k＞9是原方程表示双曲线的充分不必要条件．答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则k＝________.解析：依题意，双曲线方程可化为－＝1，所以－－＝9，解得k＝－1.答案：－16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________．解析：由双曲线的定义|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，∴△ABF2的周长为4a＋2|AB|＝26.答案：26三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别求符合下列条件的双曲线的标准方程．1(1)一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为24；(2)求与椭圆＋＝1共焦点且过点(3，2)的双曲线的方程．解析：(1)由题意，双曲线的焦点在y轴上，因此可设其标准方程为－＝1.∵2a＝24，∴a＝12.∵一个焦点坐标为F1(0，－13)，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的方程为－＝1.(2)椭圆＋＝1的焦点为(2，0)，(－2，0)，设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝20.①又∵过点(3，2)，∴－＝1.②由①②，得a2＝10，b2＝10∴双曲线方程为－＝1.8．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．解析：∵双曲线方程为－＝1，∴c＝＝13，于是焦点坐标为F1(－13,0)、F2(13,0)，设过点F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y＞0)，∴＝－1＝，∴y＝，即|AF1|＝.又∵|AF2|－|AF1|＝2a＝24，∴|AF2|＝24＋|AF1|＝24＋＝.故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为和.☆☆☆9．(10分)0°≤α≤180°时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示曲线的怎样变化？解析：(1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.(2)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.①当0°<α<45°时，>>0，它表示焦点在y轴上的椭圆．②当α＝45°时，x2＋y2＝，它表示圆心在原点，半径为的圆．③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何图形．2
