课时作业3几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝其中正确的个数是(B)A．0B．1C．2D．3解析：(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sin＝，而′＝0，所以②错误；′＝＝＝－2x－3，所以③错误；所以④正确．2．函数y＝sinx·cosx的导数是(B)A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.3．f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2013(x)＝(C)A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx,f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循环周期为4，因此f2013(x)＝f1(x)＝cosx.4．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为(B)A．f(x)＝x3B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1D．f(x)＝x4－1解析：由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得．5．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(A)A．3B．2C．1D.解析：因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．6．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(B)A．－B.C．－D.1解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．7．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为(A)A．1B．±1C．－1D．－2解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.8．已知函数f(x)＝x2＋4lnx，若存在满足1≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是(B)A．[5，＋∞)B．[4,5]C．[4，]D．(－∞，4)解析：f′(x)＝x＋，当1≤x0≤3时，f′(x0)∈[4,5]，又k＝f′(x0)＝m，所以m∈[4,5]．二、填空题9．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝1.解析：f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0.解得x＝－或x＝1，又x>0，∴x＝1.10．若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝－1.解析：y′＝k＋，由题意知，y′|x＝1＝0，即当x＝1时，k＋＝k＋1＝0，解得k＝－1.11．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝2.解析：由f(ex)＝x＋ex，可得f(x)＝lnx＋x，得f′(x)＝＋1，故f′(1)＝1＋1＝2.三、解答题12．求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝(4x－x)(ex＋1)．解：(1)∵y＝x＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(2)y′＝＝.(3)法1：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′＝ex4xln4＋4xex＋4xln4－ex－xex－1＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.法2：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′＝(4xln4－1)(ex＋1)＋(4x－x)ex＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.13．已知点P是曲线y＝ex上任一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解：设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如右图，则在点P(x0，y0)处的切线的斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex.2∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)，利用点到直线的距离公式得d＝＝.故点P到直线y＝x的最小距离为.——能力提升类——14．已知A、B、C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1、m、4(10)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．解：f(x)＝ax2＋1(a>0)，则f′(x)＝2ax，从而k1＝2a；g(x)＝x3＋bx，则g′(x)＝3x2＋b，从而k2＝3＋b，由题意得，2a＝3＋b.①又f(1)＝a＋1，g(1)＝1＋b，∴a＋1＝1＋b，即a＝b，代入①式可得a＝b＝3.3
