2.3计算导数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列结论正确的是()A.若y＝cosx，则y′＝sinxB.若y＝sinx，则y′＝－cosxC.若y＝，则y′＝－D.若y＝，则y′＝【解析】∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正确；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正确；∵()′＝，∴D不正确.【答案】C2.(2016·济南高二检测)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为()A.(1，1)B.(－1，－1)C.(－1，1)D.(1，1)或(－1，－1)【解析】切线的斜率k＝tanπ＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1).故选D.【答案】D3.对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A.f(x)＝x3B.f(x)＝x4－2C.f(x)＝x3＋1D.f(x)＝x4－1【解析】由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.【答案】B4.(2016·北京高二检测)已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝()A.4B.－4C.28D.－28【解析】∵y′＝3x2，∴点(2，8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.【答案】C5.若f(x)＝sinx，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是()A.B.C.πD.π【解析】∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝，∴α＝2kπ±(k∈Z).当k＝0时，α＝.【答案】A1二、填空题6.(2016·菏泽高二检测)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去).故x＝1.【答案】17.直线y＝x＋b是曲线f(x)＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝，∴f′(x0)＝，由题意知＝，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝×2＋b，得b＝ln2－1.【答案】ln2－18.(2016·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】依题意知，f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.【答案】3三、解答题9.求下列函数的导数.(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝log2x2－log2x；(4)y＝－2sin.【解】(4)∵y＝－2sin＝2sin＝2sincos＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.10.若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值.【解】y′＝－x，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x－a).由x＝0得y＝a，由y＝0得x＝3a，所以·a·3a＝18，解得a＝64.[能力提升]21.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2016(x)＝()A.sinxB.－sinxC.cosxD.－cosx【解析】f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期，故f2016(x)＝f0(x)＝sinx.【答案】A2.已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A.B.－C.－eD.e【解析】y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则∴ex＝ex·x0，∴x0＝1，∴k＝e.【答案】D3.(2016·潍坊高二检测)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________.【解析】与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝，y0＝，即P到直线y＝x－1的距离最短.∴d＝＝.【答案】4.求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.【证明】由xy＝1，得y＝，所以y′＝－.在曲线xy＝1上任取一点P，则过点P的切线的斜率k＝－，切线方程为y－＝－(x－x0)，即y＝－x＋.设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，则A(2x0，0)，B，故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2，所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.3
