2.2最大值、最小值问题[A组基础巩固]1．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0解析：y′＝4x3－4，令y′＝0得x＝1. 当x<1时y′<0，当x>1时y′>0，∴ymin＝y极小值＝0.答案：D2．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A．24cm3B．72cm3C．144cm3D．288cm3解析：设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.则y＝(10－2x)(16－2x)x(0
e时，y′<0，当00，所以ymax＝y极大值＝f(e)＝.答案：A4．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于()A．－B.C．－D.或－解析：当a≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1－1时，y′>0.∴ymin＝f(－1)＝－.答案：－7．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是________．解析：由题意，当x>0时，f(x)的极小值为f(1)＝2，当x≤0时，f(x)极小值为f(0)＝a，f(0)是f(x)的最小值，则a≤2.答案：(－∞，2]8．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，如图，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边沿虚线折起，再焊接，则该容器的高为__________cm时，容器的容积最大，最大容积是__________cm3.解析：该容器的高为xcm，容器的容积为Vcm3，则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x＝4x3－276x2＋4320x(00；当x∈(10,24)时，V′(x)<0.∴当x＝10时，V(x)有极大值V(10)＝19600，这个极大值就是函数V(x)的最大值，∴当x＝10时，V(x)有最大值19600.答案：10196009．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．解析：(1)由原式，得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′(x)＝3x2－2ax－4.(2)由f′(－1)＝0，得a＝，此时有f(x)＝(x2－4)(x－)，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.又f()＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0.∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.10．已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.2因此f>2a－2等价于lna＋a－1<0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当01时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1)．[B组能力提升]1．已知(a＋1)x－1－lnx≤0对任意x∈恒成立，则实数a的最大值为()A．0B．1C．1－2ln2D.解析：原问题等价于a＋1≤对任意x∈恒成立，令h(x)＝，则h′(x)＝－，令h′(x)＝0，得x＝1，当x∈时，h′(x)>0，当x∈(1,2]时，h′(x)<0，所以函数h(x)在上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以最小值为min＝h＝2－2ln2，所以a≤2－2ln2－1＝1－2ln2，故选C.答案：C2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x...
