第30课正弦定理与解三角形(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P7例1改编)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则角B=.【答案】π6【解析】由正弦定理，可得sinA=2sinBsinA，sinB=12.由B为锐角，得B=π6.2.(必修5P8练习1改编)在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，那么AC=.【答案】46【解析】利用正弦定理ACBsin=BCAsin，得AC=46.3.(必修5P11习题6改编)在△ABC中，若a=2，b=3，C=π6，则△ABC的面积为.【答案】32【解析】S△ABC=12absinC=12×2×3×12=32.4.(必修5P7例2改编)在△ABC中，若a=43，c=4，C=30°，则角A=.【答案】60°或120°【解析】由正弦定理sinaA=sincC，得sinA=sinaCc=14324=32，所以角A=60°或120°.15.(必修5P10练习5改编)在△ABC中，若A=60°，a=3，则sinsinabAB=.【答案】2【解析】由正弦定理sinaA=sinbB=2R，得sinsinabAB=2R=332=2.1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.正弦定理：sinaA=sinbB=sincC=2R(其中R为△ABC的外接圆的半径，下同).变式：(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；(2)sinA=2aR，sinB=2bR，sinC=2cR；(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；(4)sinaA=sinbB=sincC=sinsinsinabcABC(合比性质).2.利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.如：已知a，b和A，用正弦定理求B时解的情况如下：①若A为锐角，则a
b一解3.由正弦定理，可得三角形面积公式：S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB=4abcR=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).4.三角形内角定理的变形：由A+B+C=π，知A=π-(B+C)，可得出：sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C).而2A=π2-2BC，有sin2A=cos2BC，cos2A=sin2BC.【要点导学】要点导学各个击破利用正弦定理判断三角形的形状例1在△ABC中，已知b=asinC，c=asinB，试判断△ABC的形状.【思维引导】减少角或边的个数，本题可减少边a；边角化为同一形式，如题中可把边化为角；高次可降次，如题中的单角化为倍角等.【解答】由b=asinC，c=asinB，得bc=sinsinCB.3由正弦定理得sinsinBC=bc=sinsinCB，所以sin2B=sin2C.所以1-cos22B=1-cos22C，所以cos2B=cos2C.又B，C是三角形的内角，所以2B=2C，所以B=C.由b=asinC，得sinB=sinA·sinC，所以sinA=1，所以A=π2，所以△ABC是等腰直角三角形.【精要点评】三角形形状的判断方向主要有等腰、等边、直角、锐角、钝角三角形等；主要的判断方法是借助三角函数中的各个定理及运算公式，考查边角的等量关系等.变式在△ABC中，已知a=2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形.【解答】因为a=2bcosC，所以由正弦定理，得2RsinA=4RsinBcosC，所以2cosCsinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.所以sinBcosC-cosBsinC=0，即sin(B-C)=0，所以B-C=kπ(k∈Z).又B，C是三角形的内角，所以B=C，即△ABC为等腰三角形.利用正弦定理解三角形例2在△ABC中，根据下列条件解三角形：(1)c=6，A=45°，a=2；(2)c=2，A=45°，a=2；(3)c=3，A=45°，a=2.【思维引导】三小题均属于“已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，要先求sinC.4【解答】(1)因为c=6，A=45°，a=2，所以由sinaA=sincC，得sinC=32.所以C=60°或C=120°.当C=60°时，B=75°，b=sinsincBC=006sin75sin60=3+1；当C=120°时，B=15°，b=sinsincBC=006sin15sin60=3-1.(2)同(1)可得sinC=12，所以C=30°或C=150°.又因为C+A<180°，所以C=150°不符合要求.所以C=30°，B=105°，b=sinsinaBA=002sin105sin45=3+1.(3)同(1)可得sinC=324.因为324>1，所以此三角形无解.【精要点评】解三角形问题首先要判断是否会出现多解或无解的情况：对于“已知两角与任一边，求其他两边和一角”的题型不可能有多个解，也不可能无解；...
