高考达标检测（五十八）参数方程1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其直线l的距离相等，求点P的坐标．解：(1)椭圆C的参数方程为：(θ为参数)，直线l的普通方程为x－y＋9＝0.(2)设P(2cosθ，sinθ)，则|AP|＝＝2－cosθ，P到直线l的距离d＝＝.由|AP|＝d，得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－.故P.2．已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M－2＋4cosθ，2＋sinθ.曲线C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|，从而当cosθ＝，sinθ＝－时，d取最小值.3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．解：(1)曲线C的普通方程为＋＝1，直线l的参数方程为(t为参数)．(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：(8＋tcosα)2＋8(2＋tsinα)2＝32，整理得(8sin2α＋cos2α)t2＋(16cosα＋32sinα)t＋64＝0，由Δ＝(16cosα＋32sinα)2－4×64(8sin2α＋cos2α)>0，得cosα>sinα，故α∈，∴|PM1|·|PM2|＝|t1t2|＝∈.4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin.现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(－2，－3)，求|PA|·|PB|的值．解：(1)ρ＝4sin＝4sinθ＋4cosθ，所以ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，所以x2＋y2－4x－4y＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝8；直线l的普通方程为x－y＋2－3＝0.(2)把直线l的参数方程代入到圆C：x2＋y2－4x－4y＝0中，得t2－(4＋5)t＋33＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝33.点P(－2，－3)显然在直线l上，由直线标准参数方程下t的几何意义知|PA|·|PB|＝|t1t2|＝33，所以|PA|·|PB|＝33.5．(2017·贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A，B，C.(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；(2)当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．解：(1)证明：依题意|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos，|OC|＝4cos，则|OB|＋|OC|＝4cos＋4cos＝2(cosφ－sinφ)＋2(cosφ＋sinφ)＝4cosφ＝|OA|.(2)当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为，，化为直角坐标为B，C，所以经过点B，C的直线方程为y－＝－(x－1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝.6．(2017·唐山模拟)将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，点A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|－|BD|.解：(1)由题意可得C2：＋y2＝1，l：(t为参数)．(2)将代入＋y2＝1，整理得5t2＋4t－4＝0.设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－，且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos30°＝，故|AC|－|BD|＝|AC|－＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋＝.7．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos.(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|A...
