高中数学 2.5《平面向量数量积》考点解析 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学试题VIP免费

平面向量数量积四大考点解析考点一.考查概念型问题例1.已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数()⑴baabba//;⑵ba,反向baab⑶bababa;⑷a=bbacbA.1B.2C.3D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵a·b=｜a｜·｜b｜cosθ∴由｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜及a、b为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若a,b反向，则a、b的夹有为π，∴a·b=｜a｜·｜b｜cosπ=-｜a｜·｜b｜且以上各步可逆，故命题(2)是真命题.(3)当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜a+b｜＝｜a-b｜.反过来，若｜a+b｜＝｜a-b｜,则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题(3)是真命题.(4)当｜a｜＝｜b｜但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有｜a·c｜≠｜b·c｜，反过来由｜a·｜c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜＝｜b｜.故(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).评注：两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，1夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.考点二、考查求模问题例2.已知向量kba,5,2,2，若ba不超过5，则k的取值范围是__________。分析：若yxa,则222yxa，或22yxa，对于求模有时还运用平方法。解：由kba2,3，又5ba，由模的定义，得：25292k解得：26k，故填2,6。评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例3.（1）已知ba,均为单位向量，它们的夹角为60°,那么ba3＝（）A.7B.10C.13D.4（2）已知向量sin,cosa，向量1,3b，则ba2的最大值是___________。解：（1）13931960cos63222bbaaba所以133ba，故选C。（2）由题意，知2,1ba,3sin2ba又163sin88442222bbaaba则ba2的最大值为4。评注：模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考查求角问题例4.已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量a与b的夹角.分析：要求a与b的夹角，首先要求出a与b的夹角的余弦值，即要求出｜a｜及｜b｜、a2·b，而本题中很难求出｜a｜、｜b｜及a·b，但由公式cosθ=baba可知，若能把a·b，｜a｜及｜b｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得a与b的夹角θ.解：设a与b的夹角为θ.∵a+3b垂直于向量7a-5b，a-4b垂直于7a-2b，02740573babababa即083070151672222bbaabbaa解之得b2=2a·ba2=2a·b∴a2=b2∴｜a｜＝｜b｜∴cosθ=baba=bab221=21∴θ=3因此a与b的夹角为3.考点四、考查交汇问题是指向量与立几、解几、数列、三角等的交汇题，创新题。例4.（1）直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足4OAOP，则点P的轨迹方程是_________________。（2）已知直线0cbyax与圆O:122yx相交于A、B两点，且3AB，则OBOA___________。解：（1）由4OAOP，有4,2,1yx，即42yx故应填042yx（2）先由圆的几何性质，求得两向量的夹角是12021120cosOBOAOBOA.故填21.评注：第（2）小题关键是运用几何法求出两向量的夹角，再运用向量的数量积公式即可。3