课时作业29一、选择题1．[2014·大连模拟]使函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上取最大值的x为()A.0B.C.D.解析：∵f′(x)＝1－2sinx＝0，x∈[0，]时，sinx＝，x＝，∴当x∈[0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．当x∈(，]时，f′(x)<0，f(x)是减函数，即x＝，f(x)取最大值．故选B.答案：B2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A.B.C.D.解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0得x＝(x＝－舍去)，又f(0)＝0，f(1)＝0，f()＝，则比较得最大值为f()＝.答案：A3．函数y＝x－sinx，x∈[，π]的最大值是()A．π－1B.－1C．πD．π＋1解析：y′＝1－cosx≥0，所以y＝x－sinx在[，π]上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.答案：C4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A.－37B.－29C.－5D.以上都不对解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，又∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值为－37.故选A.答案：A二、填空题5．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．解析：令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2.当x∈(0,2)时F′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0，∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.答案：2＋2a－2ln216．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈(－∞，－]恒成立，则m的取值范围是__________．解析：设y＝x2＋，则y′＝2x－＝.∵x≤－，∴y′<0，即y＝x2＋在(－∞，－]上单调递减．∴当x＝－时，y取得最小值为－.∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.答案：(－∞，－]7．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为_____．解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为[，e(sin1＋cos1)]．答案：[，e(sin1＋cos1)]三、解答题8．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．求f(x)在区间[0,2]上的最大值．解：f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当0<<2，即0
0，则f(x)，f′(x)随x变化的情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)单调递增最大值3单调递减∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)若a<0，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)单调递减最小值－29单调递增∴当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝b＝－29.又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29
