第1课时等差数列的概念与通项公式【基础练习】1．数列{an}满足an＋1＝an－3(n≥1)且a1＝7，则a3的值是()A．1B．4C．－3D．6【答案】A【解析】因为an＋1＝an－3，所以an＋1－an＝－3，所以数列{an}为等差数列且公差为－3，a1＝7.所以an＝10－3n，则a3＝10－3×3＝1.故选A．2．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2018，则该数列的首项为()A．1B．2C．5D．6【答案】B【解析】由等差中项的定义知a1＋2018＝2×1010，∴a1＝2.3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64【答案】A【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，a1＋7d＝8，解得a1＝－，d＝，则a12＝－＋×11＝15.故选A．4．(2019年浙江嘉兴期末)若x≠y，两个等差数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y的公差分别为d1和d2，则等于()A．B．C．D．【答案】C【解析】d1＝＝，d2＝＝，∴＝.5．已知数列{an}为等差数列且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝()A．45B．43C．40D．42【答案】D【解析】在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝13，∴(a1＋d)＋(a1＋2d)＝13，解得d＝3.∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝3×(2＋3×4)＝42.故选D．6．在等差数列{an}中，若an＋an＋2＝4n＋6(n∈N*)，则该数列的通项公式an＝________.【答案】2n＋1【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵an＋an＋2＝2an＋1＝4n＋6，∴an＋1＝2(n＋1)＋1，即an＝2n＋1.7．已知数列{an}是等差数列且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12，求数列{an}的通项公式．【解析】∵{an}是等差数列，∴a1＋a2＋a3＝3a2＝12，即a2＝4.又a1＝2，∴公差d＝a2－a1＝2.∴an＝2＋2(n－1)＝2n.8．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N＋，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝(n∈N＋)．1(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)证明：∵bn＝且an＝，∴bn＋1＝＝＝.∴bn＋1－bn＝－＝2.又b1＝＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，∴an＝＝.∴即数列{an}的通项公式为an＝.【能力提升】9．若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列()A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为5的等差数列D．不是等差数列【答案】A【解析】∵an－an－1＝[2(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝2，∴数列{an}是公差为2的等差数列．故选A．10．已知等差数列{an}的公差d≠0且a3＋a9＝a10－a8，若an＝0，则n＝()A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】∵a3＋a9＝a10－a8，∴a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d.∴an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d.令(n－5)d＝0(d≠0)，解得n＝5.11．古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共有________人．【答案】195【解析】设共有n人，根据题意得第n个人给出n＋2元，故＝100，解得n＝195.∴一共有195人．12．已知等差数列{an}中，a4＝7，a8＝15，把数列{an}的所有奇数项按原顺序排列，得到一个新数列，记为{bn}，则此新数列的通项公式为bn＝________.【答案】4n－3【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由a4＝7，a8＝15，可得解得则an＝2n－1.由题意得b1＝a1＝1，b2＝a3＝5，b3＝a5＝9，{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列，所以bn＝1＋4(n－1)＝4n－3.13．(2019年广西柳州校级月考)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{an}不可能为等差数列，证明如下：2由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.与{an}为等差数列矛盾．所以不存在λ使{an}是等差数列．3
