3.1.5空间向量运算的坐标表示课后篇巩固提升1.已知A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且⃗AB=2a,则点B的坐标为()A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)解析∵a=(-3,4,12),且⃗AB=2a,∴⃗AB=(-6,8,24),∵A(1,-2,0),∴B=(-6+1,8-2,24+0)=(-5,6,24),故选D.答案D2.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量⃗AB与⃗AC的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析由已知得⃗AB=(0,3,3),⃗AC=(-1,1,0),因此cos<⃗AB,⃗AC>=⃗AB·⃗AC|⃗AB|·|⃗AC|=33√2×√2=12,所以向量⃗AB与⃗AC的夹角为60°.答案C3.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=()A.√7B.2√2C.3D.√10解析∵a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),∴a+b=(3,0,-1),∴|a+b|=√32+02+(-1)2=√10.故选D.答案D4.已知空间向量⃗OA=(x,y,8),⃗OB=(z,3,4),⃗OA∥⃗OB,且|⃗AB|=5√2,则实数z的值为()A.5B.-5C.5或-5D.-10或10解析因为⃗OA∥⃗OB,所以存在λ∈R,使得⃗OA=λ⃗OB,又|⃗AB|=5√2,而⃗AB=⃗OB−⃗OA=(z-x,3-y,-4),1则{x=λz,y=3λ,8=4λ,(z-x)2+(3-y)2+(-4)2=50,解得{x=10,y=6,z=5,λ=2,或{x=-10,y=6,z=-5,λ=2.故选C.答案C5.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析⃗AB=(3,4,-8),⃗AC=(5,1,-7),⃗BC=(2,-3,1),所以|⃗AB|=√32+42+82=√89,|⃗AC|=√52+12+72=√75,|⃗BC|=√22+32+1=√14,因此|⃗AC|2+|⃗BC|2=75+14=89=|⃗AB|2.所以△ABC为直角三角形.答案C6.下列各组向量中共面的组数为()①a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5);②a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2);③a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1);④a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1).A.0B.1C.2D.32解析①设a=xb+yc,则{1=3x+4y,2=0·x+2y,3=2x+5y,解得{x=-1,y=1,故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面.②中b=-2c,③中c=a-b.故②③中三个向量也共面.答案D7.已知空间三点A(-2,2,1),B(-1,1,-2),C(-4,0,2),若向量3⃗AB−⃗AC与⃗AB+k⃗AC垂直,则k的值为()A.1B.2C.3D.4解析∵A(-2,2,1),B(-1,1,-2),C(-4,0,2),∴⃗AB=(1,-1,-3),⃗AC=(-2,-2,1),∵向量3⃗AB−⃗AC与⃗AB+k⃗AC垂直,则(3⃗AB−⃗AC)·(⃗AB+k⃗AC)=3⃗AB2+(3k-1)⃗AB·⃗AC-k⃗AC2=0,即3×11-3×(3k-1)-9k=0,36-18k=0,解得k=2,故选B.答案B8.已知a=(-2,1,3),b=(5,-2,x),且a⊥b,则实数x的值为.解析∵a=(-2,1,3),b=(5,-2,x),且a⊥b,∴a·b=-10-2+3x=0,解得x=4.∴实数x的值为4.答案49.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=.解析由已知得(c+a)=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.答案-810.已知⃗AB=(0,3,3),⃗AC=(-1,1,0),则向量⃗AB与⃗AC的夹角为.解析设两个向量的夹角为θ,则cosθ=⃗AB·⃗AC|⃗AB|·|⃗AC|=33√2×√2=12,故θ=60°.答案60°11.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以⃗AB和⃗AC为邻边的平行四边形的面积;3(2)若|a|=√3,且a分别与⃗AB,⃗AC垂直,求向量a的坐标.解(1)由题中条件可知,⃗AB=(-2,-1,3),⃗AC=(1,-3,2),所以cos<⃗AB,⃗AC>=⃗AB·⃗AC|⃗AB||⃗AC|=-2+3+6√14×√14=12.于是sin<⃗AB,⃗AC>=√32.故以⃗AB和⃗AC为邻边的平行四边形的面积为S=|⃗AB||⃗AC|sin<⃗AB,⃗AC>=14×√32=7√3.(2)设a=(x,y,z),由题意得{x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,解得{x=1,y=1,z=1或{x=-1,y=-1,z=-1.故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).12.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若⃗DB∥⃗AC,⃗DC∥⃗AB,求点D的坐标;(2)问是否存在实数α,β,使得⃗AC=α⃗AB+β⃗BC成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.解(1)设D(x,y,z),则⃗DB=(-x,1-y,-z),⃗AC=(-1,0,2),⃗DC=(-x,-y,2-z),⃗AB=(-1,1,0).因为⃗DB∥⃗AC,⃗DC∥⃗AB,所以{(-x,1-y,-z)=m(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0),解得{x=-1,y=1,z=2.即D(-1,1,2).(2)依题意⃗AB=(-1,1,0),⃗AC=(-1,0,2),⃗BC=(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得⃗AC=α⃗AB+β⃗BC成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),4所以{α=1,α-β=0,2β=2,故存在α=β=1,使得⃗AC=α⃗AB+β⃗BC成立.5
