高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质（二）课时作业 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.1.2椭圆的简单性质[基础达标]直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的线段的中点坐标是()A.B．C.D．解析：选C.设截得线段两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，中点为(x0，y0)由代入消元整理得3x2＋4x－2＝0，Δ＝42＋4×6>0，x1＋x2＝－∴x0＝＝－，y0＝x0＋1＝.已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A．1B．1或2C．2D．0解析：选C.把点(3，－1)代入＋＝1得＋<1，点(3，－1)在椭圆内部，故直线l与椭圆有两个公共点即交点．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：选C.由椭圆＋＝1可得点F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP·FP＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP·FP取得最大值6.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离为()A．3B．C.D．2解析：选C.易判断直线x＋2y－＝0与椭圆＋＝1相交，令与直线x＋2y－＝0平行的直线方程为x＋2y＋C＝0代入＋＝1，化简整理得8y2＋4Cy＋C2－16＝0，Δ＝16C2－32(C2－16)＝0，C＝±4.由图(图略)可知C＝4.切线x＋2y＋4＝0与直线x＋2y－＝0间的距离为＝.已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为()A.B．C.D．解析：选A.设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，F(c，0)，P(x′，y′)，PF中点坐标为M(x0，y0)则有☆ OM⊥PF，∴M在圆(x－)2＋y2＝()2①上．又圆O的方程为x2＋y2＝b2②，由①②可得x0＝，代入②得y＝b2－x＝，把上述x0，y代入☆式得代入椭圆方程整理化简，得(2b2－c2)2＋4a2(c2－b2)＝a2c2.把b2＝a2－c2代入上式化简得5a2＝9c2，∴e2＝，e＝.已知点A，B是椭圆＋＝1(m>0，n>0)上两点，且AO＝λBO，则λ＝________．解析：由AO＝λBO知点A，O，B共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.答案：－1椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为_1_______．解析：交点坐标为(b，kb)，代入＋＝1(a>b>0)得＋＝1，∴k2＝1－＝，∴k＝±e＝±.答案：±已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2＝________．解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，y＝b2－，所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，即k1·k2的值为－.答案：－9．已知椭圆＋＝1，直线l与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为P(2，－1)，求直线l的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由A，B在椭圆上，有由①－②，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又由P(2，－1)为AB的中点，知x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2.于是有4(x1－x2)＋4×(－2)(y1－y2)＝0.当x1＝x2时，由椭圆的对称性，知AB的中点在x轴上，不可能是点P，故x1≠x2，∴＝，即直线l的斜率为.又P(2，－1)在直线l上，故由直线方程的点斜式，可得直线l的方程为x－2y－4＝0.10．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．解：法一：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得，a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而＝－1，＝kOC＝，代入上式可得b＝a.再由|AB|＝·|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，故－4·＝4，将b＝a代入得a＝，∴b＝，∴所求椭圆的方程是＋＝1.法二：由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝＝·. |AB|＝2，∴＝1.①设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝， OC的斜率为，∴＝.代入①，得a＝，b＝.∴椭圆方程为＋y2＝1.[能力提升]以F1(－1，0)、F2(1，0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：选C.设椭圆方程为＋＝1(a>1)，由，得(2a2－1)x2＋6a2x＋(10a2－a4)＝0，由Δ≥0，得a≥，e＝＝≤，此时a＝，故椭圆方程为＋＝1.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋2＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1...