3.4.2-4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x轴平行．2．方程＝|x＋y＋2|表示的曲线是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段解析：选B.因为＝|x＋y＋2|，所以＝>1.所以由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．3．已知椭圆C：＋x2＝1，直线l：9x＋y－5＝0与椭圆C相交于A、B两点，点P为弦AB的中点，则点P的坐标为()A.B.C．(1，－4)D．(－1，14)解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，把y＝5－9x代入＋x2＝1整理得45x2－45x＋8＝0，x1＋x2＝1，y1＋y2＝5－9x1＋5－9x2＝1，故x＝＝，y＝＝，因此P的坐标为.4．若椭圆上的点P到一个焦点的距离最小，则点P是()A．椭圆短轴的端点B．椭圆长轴的一个端点C．不是椭圆的顶点D．以上都不对解析：选B.由圆锥曲线的共同特征知，点P到右焦点的距离|PF2|＝de＝(－x0)e＝a－ex0.当x0＝a时，|PF2|最小．5．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选D.当x≤0时，曲线方程可化为＋＝1，即椭圆y轴左侧部分；当x＞0时，曲线方程可化为－＝1，即双曲线y轴右侧部分，如图可知直线y＝x＋3与曲线有三个交点．6．曲线y＝和y＝－x＋有________个公共点．解析：y＝可化为x2＋y2＝1(y≥0)，其图形为半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切．答案：17．已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点交椭圆于A，B两点，则弦AB的长是________．解析：由得5x2－8x＋8＝0.所以设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，e＝，|AB|＝2×2－e(x1＋x2)＝4－×＝.答案：8．直线y＝kx＋1与曲线mx2＋5y2＝5m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是________．1解析：将y＝kx＋1代入mx2＋5y2＝5m，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，对k∈R，总有实数解．所以Δ＝20m(m－1＋5k2)≥0，对k∈R恒成立．因为m>0，所以m≥1－5k2恒成立，所以m≥1.即m的取值范围为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＞1＋，左、右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得PF1是P到l的距离d与PF2的等比中项？解：设在左半支上存在P点，使|PF1|2＝|PF2|·d，由双曲线的第二定义知＝＝e，即|PF2|＝e|PF1|.①再由双曲线的第一定义，得|PF2|－|PF1|＝2a，②由在△PF1F2中有|PF1|＋|PF2|≥2c，所以＋≥2c.③利用e＝，由③式得e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤1＋.因为e＞1，所以1＜e≤1＋，与已知e＞1＋矛盾．所以不存在符合条件的点P.10．抛物线y2＝2px(p>0)与直线y＝x＋1相切，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点．(1)求p的值；(2)若直线AB与x轴交于点Q(－1，0)，且|QA|＝2|QB|，求直线AB的斜率；(3)若AB的垂直平分线l与x轴交于点C，且|AF|＋|BF|＝8，求点C的坐标．解：(1)由得y2－2py＋2p＝0(p>0)有两个相等实根，即Δ＝4p2－8p＝4p(p－2)＝0，得p＝2为所求．(2)设直线AB的方程为x＝my－1，由得y2－4my＋4＝0，由|QA|＝2|QB|得y1＝2y2，又联立解出m＝±，故直线AB的斜率k＝＝±.(3)抛物线y2＝4x的准线x＝－1，且|AF|＋|BF|＝8，由定义得x1＋x2＋2＝8，则x1＋x2＝6.设C(m，0)，由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|＝|BC|，则(x1－m)2＋y＝(x2－m)2＋y，(x1－m)2－(x2－m)2＝－y＋y，(x1＋x2－2m)(x1－x2)＝－4(x1－x2)，因为x1≠x2，所以x1＋x2－2m＝－4，又因为x1＋x2＝6，所以m＝5，则点C的坐标为(5，0)．[B.能力提升]1．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A.B.∪C.D.∪解析：选B.C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；当m≠0时，要满足题意，需要圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两个交点，当圆与直线相切时，m＝±，即直线处于两切线之间时满足题意，则－b>0)和圆x2＋y2＝(c为椭圆的半焦距)有四...
