第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质1．(2019·南京模拟)椭圆＋＝1的离心率是________．[解析]由椭圆方程可得a＝5，b＝3，c＝4，e＝．[答案]2．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．[解析]因为方程＋＝1表示双曲线，所以当焦点在x轴上时，，解得－10，b>0)的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为______．[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±x，右准线方程为x＝，联立可求得两交点的纵坐标为±，所以△AOB的面积S＝××＝，得＝4，e＝＝2．1[答案]28．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF1·PF2的最小值的取值范围是________．[解析]设P(m，n)，则－＝1，即m2＝a2．又F1(－1，0)，F2(1，0)，则PF1＝(－1－m，－n)，PF2＝(1－m，－n)，PF1·PF2＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1＝n2＋a2－1≥a2－1，当且仅当n＝0时取等号，所以PF1·PF2的最小值为a2－1．由2≤≤4，得≤a≤，故－≤a2－1≤－，即PF1·PF2的最小值的取值范围是．[答案]9．(2019·江苏高考命题研究专家原创卷)已知抛物线的方程为y2＝4x，过其焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3，O为坐标原点，则△AOF的面积和△BOF的面积的比值为________．[解析]易知F(1，0)，不妨设A在第一象限，B在第四象限．因为|AF|＝3，所以xA＋1＝3，解得xA＝2，代入抛物线方程可得y＝4×2，得yA＝2，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，即y＝2x－2．联立，消去x得，y2－y－4＝0，所以2yB＝－4，解得yB＝－，所以△AOF的面积和△BOF的面积的比值为＝2．[答案]210．(2019·南京模拟)已知椭圆x2＋＝1(00时，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析]设F、B、C的坐标分别为(－c，0)，(0，b)，(1，0)，则FC、BC的中垂线分别为x＝，y－＝．联立方程组解出m＋n＝＋>0，即b－bc＋b2－c>0，即(1＋b)·(b－c)>0，所以b>c．从而b2>c2，即有a2>2c2，所以e2<．又e>0，所以00，b>0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．(1)求证：PF⊥l；(2)若PF＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线方程．[解](1)证明：右准线为x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P，又F(c，0)，所以kPF＝＝－，又因为kl＝，所以kPF·kl＝－·＝－1，2所以PF⊥l．(2)因为PF的长即F(...
