高中数学 第二章 几个重要的不等式专题训练 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题VIP免费

第二章几个重要的不等式1．已知a2＋b2＋c2＝1，若不等式a＋b＋c≤|x＋1|对任意实数a，b，c恒成立，则实数x的取值范围是()A．(－∞，－3]∪[1，＋∞)B．[－3，－1]C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D．[－1,3]解析：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)(1＋1＋2)≥(a＋b＋c)2.所以a＋b＋c≤2.因为a＋b＋c≤|x＋1|，所以|x＋1|≥2.解得x≥1或x≤－3.答案：A2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为()A．1B．C．D．2解析：＋＋≤＝，当且仅当a＝b＝c时取等号．又a＋b＋c＝1，则＋＋≤.∴＋＋的最大值为.答案：C3．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A>BB．A0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是________.解析：取两组数a，a＋1，a＋2与a2，(a＋1)2，(a＋2)2，显然a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3是顺序和，而a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2是乱序和．由排序不等式易知M>N.答案：M>N16．设a，b，c∈(0，＋∞)，若不等式(a＋b＋c)≥25恒成立，则正数k的最小值是________.解析：因为(a＋b＋c)≥(1＋1＋)2＝(2＋)2，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以(a＋b＋c)的最小值是(2＋)2.由不等式(a＋b＋c)≥25恒成立，得(2＋)2≥25.所以k≥9.所以正数k的最小值是9.答案：97．设c1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，则＋＋…＋与n的大小关系是_________.解析：不妨设00时等号成立．答案：＋＋…＋≥n8．若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．解：由a＋b＋c＝1，可得(2a＋1)＋(2b＋1)＋(2c＋1)＝5.因为2a＋1,2b＋1,2c＋1均为正数，由柯西不等式，得(2a＋1＋2b＋1＋2c＋1)≥·＋·＋·2＝9，当且仅当a＝b＝c时取等号，所以＋＋≥.故＋＋的最小值为.9．在△ABC中，试证：≤<.证明：不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C．由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC．以上三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)．所以≥.①由0