第2讲等差数列及其前n项和[基础题组练]1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14解析：选C.由题知3a1＋d＝12，因为a1＝2，解得d＝2，又a6＝a1＋5d，所以a6＝12，故选C.2．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{an}，Sn是{an}的前n项和，则对于任意的n∈N*，“an>0”是“Sn>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.对于任意的n∈N*，“an>0”能推出“Sn>0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列5，3，1，－1，不满足条件，不是必要条件，故选A.3．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为()A．24B．39C．104D．52解析：选D.因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48，所以a4＋a10＝8，其前13项的和为＝＝＝52，故选D.4．(2020·金华十校联考)在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(3n－1)B.C．n(n＋1)D.解析：选C.依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，选C.5．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为()A．22B．21C．24D．23解析：选D.因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，又a1＝15，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，且{an}为递减数列，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，可知使ak·ak＋1＜0的k值为23.6．(2020·温州十校联合体期初)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则()A．若S9>S8，S9>S10，则S17>0，S18<0B．若S17>0，S18<0，则S9>S8，S8>S10C．若S17>0，S18<0，则a17>0，a18<0D．若a17>0，a18<0，则S17>0，S18<0解析：选B.A.由S9>S8，且S9＝S8＋a9得a9>0，又S9>S10，S10＝S9＋a10，则a10<0，因为S17＝17a9>0，S18＝9(a10＋a9)符号不确定，A错误；B．在等差数列{an}中，S17>0，且S18<0，则S17＝17a9>0，S18＝9(a10＋a9)<0，1所以a9>0，a10<0，且|a10|>a9，所以等差数列{an}的公差d<0，则S9＝S8＋a9>S8，S10＝S8＋a9＋a100，a18<0知，a1，a2，…，a17为正，a18，a19，…为负，所以S17＝17a9>0，S18＝9(a1＋a18)＝9(a2＋a17)>0，D错误．故选B.7．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8.若an＝0，则n＝________．解析：因为a3＋a9＝a10－a8，所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d，所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.答案：58．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，说明所以所以－1＜d＜－.答案：9．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝________．解析：因为an，Sn，a成等差数列，所以2Sn＝an＋a，当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a，又a1>0，所以a1＝1，当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，所以(a－a)－(an＋an－1)＝0，所以(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，又an＋an－1>0，n≥2，所以an－an－1＝1，n≥2，所以{an}是等差数列，其公差为1，因为a1＝1，所以an＝n(n∈N*)．答案：n10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值．解：(1)由题知，解得，故an＝2n－7(n∈N*)．(2)由an＝2n－7＜0，得n＜，因为n∈N*，即n≤3，所以当n≤3时，an＝2n－7＜0，当n≥4时，an＝2n－7＞0.易知Sn＝n2－6n，S3＝－9，S5＝－5，所以T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝－S3＋(S5－S3)＝S5－2S3＝13.11．(2020·嵊州模拟)已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．2(1)设函数y＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；(2)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前...
