课时作业(四十七)高考解答题专题突破(四)立体几何的热点问题1．(2015·临沂二模)如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，ED∥FB，ED⊥平面ABCD，AD＝BD＝2，BF＝2DE＝2.(1)求证：AE⊥CF；(2)求二面角A－FC－E的余弦值．解：(1)证明：证法一：在△AEF中，AE＝，EF＝，AF＝2，∴AE2＋EF2＝AF2，∴AE⊥EF.在△AEC中，AE＝，EC＝，AC＝2，∴AE2＋EC2＝AC2，∴AE⊥EC.又 EF∩EC＝E，∴AE⊥平面ECF.又 FC⊂平面ECF，∴AE⊥CF.证法二： 四边形ABCD是菱形，AD＝BD＝2，∴AO⊥BD，AC＝2. ED⊥平面ABCD，BD＝2，BF＝2DE＝2，故可以以O为坐标原点，以OA，OB所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(，0,0)，E(0，－1，)，C(－，0,0)，F(0,1,2)，∴AE＝(－，－1，)，CF＝(，1,2)，∴AE·CF＝－3－1＋4＝0，∴AE⊥CF.(2)由(1)，知AF＝(－，1,2)，AC＝(－2，0,0)，EF＝(0,2，)，EC＝(－，1，－)．设平面AFC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得令z1＝1，得n1＝(0，－2，1)．设平面EFC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，同理可得n2＝(－，－1，)．设二面角A－FC－E的大小θ，则cosθ＝＝＝.2．(2015·泰安二模)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)若点M，N分别是边A1B1，BC的中点，求证：MN∥平面ACC1A1；(2)证明：AB⊥A1C；(3)若AB＝CB＝2，A1C＝，求二面角B－AC－A1的余弦值．解：(1)证明：如图，取AC的中点D，连接DA1，DN， N为BC的中点，∴在△ABC中，ND綊AB.又 M为A1B1的中点，A1B1∥AB，∴A1M綊AB，∴ND綊A1M，∴四边形A1MND为平行四边形．∴MN∥A1D.又MN⊄平面ACC1A1，A1D⊂平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1.(2)证明：取AB的中点E，连接EC，EA1，在△ABC中，CA＝CB，∴EC⊥AB.又在△AA1B中，AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△AA1B为正三角形，∴A1E⊥AB，又A1E∩EC＝E，∴AB⊥平面A1EC，∴AB⊥A1C.(3) CA＝CB，AB＝CB＝2，∴△ABC为边长为2的正三角形，且CE＝，易求A1E＝，又A1C＝，∴A1E2＋CE2＝6＝A1C2，∴EC⊥EA1.又EC⊥AB，EA1∩AB＝E，∴EC⊥平面AA1B.故以E为原点，EA所在直线为x轴，EA1所在直线为y轴，EC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∴A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，∴AC＝(－1,0，)，AA1＝(－1，，0)，EA1＝(0，，0)， EA1⊥平面ABC，∴取EA1为平面ABC的一个法向量，设平面AA1C的法向量为n＝(x，y,1)，则有即解得∴n＝(，1,1)，∴cos〈n，EA1〉＝＝＝，∴二面角B－AC－A1的余弦值为.3．(2015·烟台诊测)已知平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD.(1)求证：C′D⊥平面ABD；(2)求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．解：(1)证明：平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，可知C′D＝6，BC′＝BC＝10，BD＝8，即BC′2＝C′D2＋BD2，C′D⊥BD.又 平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，C′D⊂平面BC′D，∴C′D⊥平面ABD.(2)由(1)，知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，A(8,6,0)，B(8,0,0)，C′(0,0,6)，BD＝(－8,0,0)． E是线段AD的中点，∴E(4,3,0)．在平面BEC′中，BE＝(－4,3,0)，BC′＝(－8,0,6)，设平面BEC′的法向量为n＝(x，y，z)，∴即令x＝3，得y＝4，z＝4，故n＝(3,4,4)．设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，BD〉|＝＝.∴直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为.4．(2015·威海模拟)已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1，沿EF将四边形BEFC向上折起，使得平面B′EFC′⊥平面ADFE.(1)求证：C′D∥平面B′AE；(2)求证：平面B′DE⊥平面B′EF；(3)求二面角A－B′E－F的平面角的余弦值．解：(1)证明： 四边形ABCD为矩形，∴B′E∥C′F，AE∥DF， AE∩B′E＝E，DF∩FC′＝F，∴平面AB′E∥平面DFC′， C′D⊂平面DFC′，∴C′D∥平面B′AE.(2)证明：如图，连接DE，在Rt△DAE中，DE＝＝2， EF＝2，DF＝4，∴DE2＋EF2＝DF2，∴DE⊥EF.过B′作B′H⊥EF， 平面B′EF⊥平面AEF，∴B′H⊥平面AEF， DE⊂平面AEF...
