高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.1 抛物线及其标准方程课时作业（含解析）北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

课时作业14抛物线及其标准方程时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为(B)A．圆B．抛物线和一条射线C．椭圆D．抛物线解析：设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)．故选B.2．焦点在x轴上，且经过点P(－1,2)的抛物线的标准方程是(C)A．y2＝xB．y2＝－xC．y2＝－4xD．x2＝－4y解析：根据抛物线焦点和点P(－1,2)的位置，可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，把点的坐标代入抛物线方程得p＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x.3．已知抛物线y＝x2，则它的焦点坐标是(D)A.B.C.D.解析：化为标准方程为x2＝y，∴抛物线的焦点坐标为，故选D.4．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是(D)A．2B．2C.D．1解析：抛物线的焦点为(2,0)，则点(2,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝1，故选D.5．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为(B)A.B.C.D.解析：设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋＝2，∴x0＝，∴y0＝±.6．已知点P是抛物线x＝y2上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为(C)A．2B.C.－1D.＋1解析：由抛物线x＝y2可得y2＝4x，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．依题意可知点P到点A(0,2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到(0,2)与P到该抛物线准线的距离的和的最小值减去1，也就是点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线焦点的距离之和的最小值减1，可得－1＝－1.故选C.7．抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是(B)A．(，)B．(1,1)C．(，)D．(2,4)解析：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离公式得d＝＝＝＝≥.当x＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)．8．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(C)1A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x解析：如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， |BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.二、填空题9．抛物线y2＝－x的焦点到它的准线的距离等于.解析：由题意得p＝，F，准线方程为x＝，所以焦点到它的准线的距离等于.10．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝2.解析：本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识．直线AB：y＝x－代入抛物线y2＝2px，得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，∴3p＋p＝8，∴p＝2.11．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的方程是y2＝5x.解析：由题意得，线段OA的垂直平分线方程为2x＋y－＝0，则与x轴的交点为F(，0)．所以p＝，即抛物线方程为y2＝5x.三、解答题12．已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P满足的方程．解：方法1：设点P的坐标为(x，y)，则有＝|x|＋1.将两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.∴y2＝∴动点P满足的方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．方法2：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件，当x≥0时，题中条件等价于点P到2点F(1,0)与点P到直线x＝－1的距离相等，故点P的集合是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P满足的方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．13．如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口直径为12m，镜深2m.(1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点坐标；(2)若把盛水和食物的容器近似的看作点，试求每根钢筋的长度．解：(1)如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由...