学业分层测评(二十三)向量的应用(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知一物体在共点力F1＝(2,2)，F2＝(3,1)的作用下产生位移s＝，则共点力对物体所做的功为________．【解析】对于合力F＝(5,3)，其所做的功为W＝F·s＝＋＝7.【答案】72．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状为________．【解析】AB＝(1,1)，AC＝(－3,3)，AB·AC＝0，即AB⊥AC，故△ABC为直角三角形．【答案】直角三角形3．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为________(速度单位：m/s，长度单位：m)．【解析】5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．【答案】(10，－5)4.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图255，已知物体重力大小为10N，则每根绳子的拉力大小是________．图255【解析】因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10N.【答案】10N5．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的________．【解析】由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，可得OA·OB－OB·OC＝0，(OA－OC)·OB＝0，即CA·OB＝0，CA⊥OB，同理可证OC⊥AB，OA⊥BC.所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．【答案】垂心6．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1,2)，C(1,1)，则B的坐标为________．【解析】设B的坐标为(x，y)，则CB＝(x－1，y－1)，又AC＝(2，－1)．由题意知：|CB|＝|AC|，且CB·AC＝0，∴解得或【答案】(0，－1)或(2,3)7．如图256，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________．【导学号：06460068】1图256【解析】∵AC＝AB＋AD，∴AC2＝AB2＋AD2＋2AB·AD，①又BD＝AD－AB，∴BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB，②∴①＋②得AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．又AD＝1，AB＝2，BD＝2，∴AC＝.【答案】8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________．【解析】如图，|F1|＝|F2|＝.∵|F1|＝|F2|＝|G|，∴2cos＝1，∴θ＝120°.【答案】120°二、解答题9．如图257所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.图257【证明】∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0.∴AC⊥BD.∴AC⊥BD.10．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．【解】设N(x，y)，M(x0，y0)．因为MA＝2AN，所以(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，所以即又因为点M(x0，y0)在圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4上，所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，2所以(2x)2＋(2y)2＝4，即x2＋y2＝1，所以点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.能力提升]1．在四边形ABCD中，若AB＝DC，且|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状是________．【解析】AB＝DC，∴AB∥DC，且|AB|＝|DC|，∴四边形ABCD是平行四边形，|AB＋AD|＝|AC|，|AB－AD|＝|DB|，∴|AC|＝|DB|，∴平行四边形是矩形．【答案】矩形2．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则OA·OB＝________.【解析】如图，在△AOB中，|AB|＝，|OA|＝|OB|＝1，∴∠AOB＝120°，∴OA·OB＝|OA||OB|cos120°＝－.【答案】－3．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【解析】以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈0，π]，所以0∈.【答案】4．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的角平分线的方程．【解】AB＝(3,4)，AC＝(－8,6)，∠A的角平分线的一个方向向量为：＋＝＋＝.设∠A的角平分线上任一点N(x，y)，则AN＝(x－4，y－1)，则AN与所求方向向量平行，∴所求直线方程为：(x－4)＋(y－1)＝0，整理得7x＋y－29＝0.3
