第6讲线段的垂直平分线考点讲解：1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如图，∵ACBCMNAB，，点P在直线MN上，∴PAPB2.线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。∵PAPB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。3.三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（三角形的外心）如图，△ABC中，边AB和BC的垂直平分线MN和GH相交于点P，根据线段垂直平分线的性质定理则有PA=PB=PC，根据线段垂直平分线的判定定理，点P在线段AC的垂直平分线上，因此，△ABC三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。【典型例题】例1.如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D。求∠DBC的度数．例2.已知：如图所示，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A．求证：点M在BN的垂直平分线上．例3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．求证：CM=2BM．例4.如图，河的同侧有A、B两个村庄，要在河边修一扬水站向两个村庄铺设管道供水，若铺设的管道最短，扬水站应建在哪个位置？说明理由。例5.如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点，点E是BC边的中点，当点P运动到AC上的什么位置时，PB+PE的值最小？最小值是多少？【模拟试题】一、选择题1.如左下图，AC=AD，BC=BD，则（）A、CD垂直平分ABB、AB垂直平分CDC、CD平分∠ACBD、以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是()A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、等边三角形3.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是()A、6cmB、7cmC、8cmD、9cm4.三角形三边垂直平分线的交点的位置一定在（）A、三角形内部B、三角形外部C、三角形的一条边上D、三种情况都有可能二、填空题5.三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________6.如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上．7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12cm，AC=5cm，则AB+BD+DC=_____cm；△ABC的周长是__________cm.8.如图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=__________度．三、解答题9.已知：如图所示，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线．求证：△ADE是等边三角形．10．已知：如图所示，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：点D在线段BE的垂直平分线上．
