高中数学 第三章 不等式 专题3.2 一元二次不等式及其解法试题 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

3.2一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的定义我们把只含有_________个未知数，并且未知数的最高次数是_________的不等式，称为一元二次不等式．例如：x2＋x＞0，2x2＋3x＋1＜0，x2－3x≥0，x2－x－2≤0都是一元二次不等式．注：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数；（2）一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0．2．一元二次不等式的一般形式一元二次不等式的一般形式：ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≤0．其中a，b，c为常数，且a≠0．3．一元二次不等式的解与解集使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的_________，所有的解组成的集合叫做这个一元二次不等式的_________．例如x＝1是不等式x2－2x＜0的解，不等式x2－2x＜0的解集为．注：将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式叫做不等式的同解变形．4．三个“二次”之间的关系y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根有两个相等的实数没有实数根1根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集或Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集____________注：上述表格是解一元二次不等式的一个依据，其中x1，x2具有三重身份：（1）相应的一元二次方程的实数根；（2）相应的二次函数的零点；（3）相应的一元二次不等式解集的区间端点．5．一元二次不等式的解法由上述三个“二次”之间的关系可知，求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且右边为0)；（2）计算判别式，求相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根；（3）画出对应二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象；（4）根据图象及一元二次不等式解集的几何意义写出解集．我们可以用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，如下：2K知识参考答案：1．一23．解解集4．K—重点三个“二次”之间的关系、一元二次不等式的解法及步骤K—难点含参不等式的求解、高次(分式)不等式的求解、穿针引线法的应用K—易错解含参不等式时不能正确分类或忽略对二次项系数的讨论解不含参数的一元二次不等式解不含参数的一元二次不等式有以下三种方法：方法1：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．其依据是上一节所学的有关因式积的符号法则．即：若ab＞0，则a，b同号；若ab＜0，则a，b异号．因此我们可以将二次三项式进行因式分解，然后利用上述符号法则来求解一元二次不等式．方法2：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大3于或等于零，不等式的解集易得．方法3：若上述两种方法不能解决，则采用求一元二次不等式解集的通法——判别式法．解下列不等式：（1）2x2＋7x＋3＞0；（2）x2－4x－5≤0；（3）－4x2＋18x－≥0；（4）x2＋3x－5＞0；（5）－2x2＋3x－2＜0；（6）－2＜x2－3x≤10．【答案】（1）{x|x＞或x＜－3}；（2）{x|－1≤x≤5}；（3）；（4）；（5）R；（6）[－2，1)∪(2，5]．（4）原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为．（5）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．（6）原不等式等价于，①可化为x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1；②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5．故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5]．【名师点睛】（1）一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集是部分与整体的关系，不要将二者混淆；（2）如果能对一个多项式进行因式分解，则运用符号法则可快速解决相应不4等式的解集问题，但利用符号法则的前提是能熟练地对多项式进行因式分解．解含参数的一元二次不等式在解...