第三章3.1第1课时椭圆及其标准方程一、选择题1．命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0为常数)；(2)命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件[答案]B[解析]若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．2．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是()A．9B．12或4C．9或7D．20[答案]C[解析]2c＝2，c＝1，故有m－8＝1或8－m＝1，∴m＝9或m＝7，故选C．3．动点M到两点A(－1,0)、B(1,0)的距离和为2，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．线段C．直线D．不存在[答案]B[解析]因为距离和为2等于|AB|，所以不是椭圆，而是线段AB．故选B．4．已知△ABC的两个顶点的坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()A．＋＝1B．＋＝1(y≠0)C．＋＝1(y≠0)D．＋＝1(y≠0)[答案]D[解析]顶点C到两个定点A，B的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程．5．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(0,1)[答案]D[解析]先将方程x2＋ky2＝2变形为＋＝1.要使方程表示焦点在y轴上的椭圆，需＞2，即00，B>0)由题意得，解得.二、填空题7．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝______________；∠F1PF2的大小为________________．[答案]2120°[解析]考查椭圆定义及余弦定理．由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，cos∠F1PF2＝＝＝－.∴∠F1PF2＝120°.8．动点P到两定点A(0，－2)、B(0,2)距离之和为8，则点P的轨迹方程为________________．[答案]＋＝1[解析] |AB|＝4<8，∴P点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，∴c＝2，又由条件知a＝4，∴b2＝a2－c2＝12， 焦点在y轴上，∴椭圆方程为＋＝1.三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别为(0，－2)、(0,2)，并且椭圆经过点(－，)．[解析](1) 椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， c＝4,2a＝10，∴b2＝a2－c2＝9，所以所求的椭圆方程为＋＝1.(2) 椭圆的焦点在y轴上，∴设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆定义知2a＝＋＝2.即a＝，又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的方程为＋＝1.10．求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程．[解析]设所求的椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)，由已知得⇒∴所求方程为5x2＋4y2＝1，即椭圆的标准方程为＋＝1.一、选择题1．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是()A．b2B．bcC．abD．ac[答案]B[解析]S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|yA－yB|，当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2B．∴△ABF面积的最大值为bC．2．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为()A．B．3C．D．[答案]D[解析]a2＝16，b2＝9⇒c2＝7⇒c＝. △PF1F2为直角三角形．且b＝3＞＝C．∴P是横坐标为±的椭圆上的点．设P(±，|y|)，把x＝±代入椭圆方程，知＋＝1⇒y2＝⇒|y|＝.3．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m－n，椭圆的焦点在y轴上，排除B、D，又n>m，∴无意义，排除A，故选C．4．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍[答案]A[解析]不...
