【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章解三角形1.3正弦定理、余弦定理的应用学业分层测评苏教版必修5(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2016·镇江高二检测)在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于________．【解析】由余弦定理得cosA＝＝，∴sinA＝，∴S△ABC＝bcsinA＝×3×8×＝6.【答案】62．有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________m.【解析】如图，在△ABC中，由正弦定理可知：＝，∴x＝10(m)．【答案】103．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得这两条船的俯角分别为45°和60°，而且这两条船与炮台底部连线成30°角，则这两条船相距________m.【导学号：91730016】【解析】设炮台顶为A，底为D，两船分别为B，C，由题意知∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30m，∴DB＝30m，DC＝10m，在△BCD中，由正弦定理知，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝300，∴BC＝10m，即这两条船相距10m.【答案】104．(2016·南京高二检测)为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，如图1311所示，且B＋D＝180°，则AC的长为________km.图1311【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cosD，由cosD＝－cosB，并消去AC2得cosB＝，所以AC＝7.【答案】75.如图1312所示，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．1图1312【解析】由题意知，AC＝BC，∠ABC＝120°，由正弦定理知，＝，∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠CAD＝60°－30°＝30°.【答案】30°6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦为________．【解析】如图，由平行四边形法则可知，|OA|＝G，在△AOB中，由余弦定理可得|OA|2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)． |OA|＝G，∴2F2(1＋cosθ)＝G2，∴cosθ＝.【答案】7．如图1313所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于________m.图1313【解析】由题意可知，AC＝＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝.2在△ABC中，由正弦定理得＝，于是BC＝＝＝120(－1)(m)．【答案】120(－1)8.如图1314，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．图1314【解析】 sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝.【答案】二、解答题9．如图1315所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4km/h，4.5km/h,3小时后两人相距多远(精确到0.1km)?图1315【解】经过3小时后，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)，依余弦定理，知PQ＝≈16.4(km)．10．如图1316，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝，求BC边上的高AD.图1316【解】在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得＝，∴sinC＝×＝，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos60°，∴x2－8x＋15＝0.∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在△ABC中，AD＝ABsinB＝AB，∴AD＝12或AD＝20.能力提升]31.如图1317，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.图1317【解析】连结OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝175...
