高二数学（文）射影定理及相似三角形性质应用（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：射影定理及相似三角形性质应用二.重点、难点：直角三角形ABC中∠A=90°，AD⊥BC，则有：，【典型例题】[例1]已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：△BFD∽△BAE。证明： ∠ACB=90°∴Rt△ECBCF⊥BE∴由射影定理得又∠ACB=90°CD⊥AB∴∴∴又 ∠FBD=∠ABE∴△BFD∽△BAE[例2]在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于D，求证：证明：过C作AD的垂线垂足为E，CE的延长线交AB于F则由射影定理过E作EG//BC交AB于G ∠CAD=∠BADAE⊥CF∴CE=EF∴BC=2EG用心爱心专心∴[例3]已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，在AB，AC边上分别取点P、Q，连结PQ，作AF⊥PQ于F，AF延长线交BC于D，求证：。证明：作BM⊥AD于M，CN⊥AD交AD延长线于点N PQ⊥AD∴PQ//BM//CN PQ//BM∴ NC//PQ∴∴ Rt△ABC中，∠BAC=90°AF⊥PQ∴由射影定理得，∴∴∴[例4]已知：△ABC中，∠A=2∠B，求证：。证明：延长CA至D使AD=AB，连结BD，则∠1=∠D∴∠CAB=2∠D ∠CAB=2∠CBA∴∠CBA=∠D又 ∠C=∠C用心爱心专心∴△ABC∽△BDC∴∴又AD=AB∴或作∠CAB平分线AD，△CAD∽△CBA∴∴[例5]已知：在△ABC中，AB=AC延长AB至D，使BD=AB，取AB中点E，连结EC、DC，求证：CD=2CE。证明： AB=AC又 E为AB中点∴AE=AC AB=ACAB=BD∴∴又∠A=∠A∴△AEC∽△ACD∴∴CD=2CE[例6]已知：在△ABC中CD为AB边上的高，E为BC边上的中点，DE的延长线交AC延长线于F，求证：。证明：（1）方法一：在EF上截取EM=DE，连结BM CD⊥AB∴△DBC为Rt△ E为BC边上的中点∴DE=BC又 EM=DE∴DM=BC∴EM=DMBE=EC∴BDCM∴MC//BD∴∴（2）方法二：作EM//BA交AC于M E为BC中点∴AM=AC用心爱心专心 CD⊥AB∴△DBC为Rt∴DE=BC EM//BA∴∴[例7]如图，△ABC中，D、E分别在边BC，AB上且∠1=∠2=∠3，设△ABC，△EBD，△ADC的周长分别为m，m1，m2，求证：。证明：令AB=c，BC=a，CA=b，由∠2=∠3知ED//AC，故△EDB∽△ACB∴，即由∠1=∠3，∠C公共∴△BAC∽△AEC∴∴∴∴当即时，∴[例8]已知：梯形ABCD中，∠B=∠C=90°过BC的中点F作FE⊥AD，且EF=CF，求证：。解：连结FD、FA FE⊥AD∴∠DEF=90° CF=EFFD=FD∠C=∠DEF=90°∴△DCF≌△DEF∴DE=DC∠1=∠2同理可证EA=BA∠3=∠4∴∠2+∠4=90°∴ EF⊥AD用心爱心专心由射影定理得 EF=CF∴∴∴[例9]已知：如图，AB=AC=15，AD⊥AB交BC于D，若CD=7，求BC的长。解：法一：取BD中点E，连结AE AD⊥AB∴AE=BE=BD∴∠1=∠B AB=AC=15∴∠C=∠B∴∠1=∠C ∠B公用∴△BAE∽△BCA∴∴ CD=1∴0∴∴BC=25法二：解：作AF⊥BC于D AD⊥AB∴ AB=AC，AF⊥BC∴BF=BC∴BC·BD=（BC－BD）·BC=AB2∴BC2－7BC=450∴（BC－25）（BC+18）=0∴BC=25[例10]如图，已知四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，若CD=1，AB=2，求AD、BC的长。解：设BC=x ∠D=∠ABC=90°∠A=60°∴∠P=30°则PC=2xPB=AD=在△PBC与△PDA中，易证△PBC∽△PDAx=0舍，∴BC=用心爱心专心AD=【模拟试题】1.已知，如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应是（）A.2.7mB.1.8mC.0.9mD.6m2.已知小明同学身高1.5m，经太阳光照射，在地面上的影长为2m，若此时测得一塔在同一地面上的影长为60m，则塔高（）A.30mB.40mC.45mD.30m3.要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人影长外，还需要测出（）A.角度B.树的影长C.标杆的影长D.都不需要4.要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已有三角形框架甲，它们三边分别为150cm，160cm，160cm，三角形框架乙的一边长为120cm，那么符合条件的三角形框架乙共有（）A.1种B.2种C.3种D.4种5.某天同时同地，甲同学测得1m的竹竿在地面上影长为0.8m，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m，则国旗旗杆的长为（）A.10mB.12mC.13mD.15m6.如图所示，电灯P的横杆AB的正上方，AB的灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（）A.B.C.D.7.一个五边形的边长分别是1，2，3，4，5，另一个和它相似的五边形最大边长为...
