四柱坐标系与球坐标系简介课时过关·能力提升基础巩固1已知点P的柱坐标为(16,π3,5),则其直角坐标为()A.(5,8,8√3¿B.(8,8√3,5)C.(8√3,8,5¿D.(4,8√3,5)解析设点P的直角坐标为(x,y,z). ρ=16,θ¿π3,z=5,∴x=ρcosθ=8,y=ρsinθ=8√3,z=5,故点P的直角坐标是(8,8√3,5¿.答案B2已知点P的柱坐标为(2,π4,3),若在空间直角坐标系中,点P在xOy平面上的射影为Q,则点Q的柱坐标为()A.(2,0,3)B.(2,π4,0)C.(√2,π4,3)D.(√2,π4,0)答案B3在球坐标系中,方程r=2(0≤φ≤π2,0≤θ<2π)表示()A.圆B.半圆C.球面D.半球面解析由空间点的球坐标的定义可知,方程r=2(0≤φ≤π2,0≤θ<2π)表示半球面.答案D4已知点M的柱坐标为(4,7π6,1),则它的直角坐标为.解析设点M的直角坐标为(x,y,z). ρ=4,θ¿7π6,z=1,∴x=ρcosθ=4cos7π6=−2√3,1y=ρsinθ=4sin7π6=−2.故点M的直角坐标为(-2√3,−2,1¿.答案(-2√3,−2,1¿5若点M的柱坐标为(7,π2,7),点M的球坐标为(r,φ,θ),则r=.解析 (ρ,θ,z)¿(7,π2,7),设点M的直角坐标为(x,y,z),则x2+y2=ρ2=49,∴r¿√x2+y2+z2=√49+72=7√2.答案7√26已知空间点P的柱坐标为(6,π3,4),则点P关于z轴的对称点的柱坐标为.答案(6,4π3,4)7把下列用柱坐标表示的点用直角坐标表示出来.(1)(2,0,-2);(2)(π,π,π).解设点的直角坐标为(x,y,z).(1) (ρ,θ,z)=(2,0,-2),∴{x=2cos0=2,y=2sin0=0,z=-2,故(2,0,-2)为所求点的直角坐标.(2) (ρ,θ,z)=(π,π,π),∴{x=πcosπ=-π,y=πsinπ=0,z=π,故(-π,0,π)为所求点的直角坐标.8把下列用球坐标表示的点用直角坐标表示出来.(1¿(2,π6,π3);(2)(2,π4,7π4).解设点的直角坐标为(x,y,z).(1) (r,φ,θ)¿(2,π6,π3),2∴{x=rsinφcosθ=2sinπ6cosπ3=12,y=rsinφsinθ=2sinπ6sinπ3=√32,z=rcosφ=2cosπ6=√3.故(12,√32,√3)为所求点的直角坐标.(2) (r,φ,θ)¿(2,π4,7π4),∴{x=rsinφcosθ=2sinπ4cos7π4=1,y=rsinφsinθ=2sinπ4sin7π4=-1,z=rcosφ=2cosπ4=√2.故(1,-1,√2¿为所求点的直角坐标.9已知点P的柱坐标为(√2,π4,5),点B的球坐标为(√6,π3,π6),求这两个点的直角坐标.解设点P的直角坐标为(x,y,z),则x¿√2cosπ4=√2×√22=1,y=√2sinπ4=1,z=5.所以点P的直角坐标为(1,1,5).设点B的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1¿√6sinπ3cosπ6=√6×√32×√32=3√64,y1¿√6sinπ3sinπ6=√6×√32×12=3√24,z1¿√6cosπ3=√6×12=√62.所以点B的直角坐标为(3√64,3√24,√62).10结晶体的基本单位称为晶胞,食盐晶胞的示意图如图①所示(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体),图形中的点代表钠原子.如图②所示,建立空间直角坐标系O−xyz后,试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.3图①图②解下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,π2,0),(√2,π2,π4),(1,π2,π2),(√22,π2,π4);它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(√2,π4,0),(1,π2,0),(√22,π4,0).能力提升1已知点M的直角坐标为(√3,1,−2),则它的球坐标为()A.(2√2,3π4,π6)B.(2√2,π4,π6)C.(2√2,π4,π3)D.(2√2,3π4,π3)解析设M的球坐标为(r,φ,θ),则{√3=rsinφcosθ,1=rsinφsinθ,-2=rcosφ,解得{r=2√2,φ=3π4,θ=π6.答案A2已知点M的球坐标为(4,π4,π4),则点M到Oz轴的距离为()A.2√2B.√2C.2D.4解析设点M的直角坐标为(x,y,z), (r,φ,θ)¿(4,π4,π4),∴{x=rsinφcosθ=4sinπ4cosπ4=2,y=rsinφsinθ=4sinπ4sinπ4=2,z=rcosφ=4cosπ4=2√2,4∴M(2,2,2√2¿.故点M到Oz轴的距离为√22+22=2√2.答案A★以地球中心为坐标原点,赤道所在平面为xOy平面,由原点指向北极的方向为z轴的正方向,零子午线所在的平面为zOx坐标平面,如图所示.某地在西经60°,南纬45°,地球的半径为R,则该地的球坐标可以表示为()A.(R,π3,π4)B.(R,π4,π3)C.(R,3π4,5π3)D.(R,5π3,3π4)解析根据地球经、纬度的定义及球坐标的定义可得.答案C4若点M的柱坐标为(√2,5π4,√2),则它的球坐标为()A.(2,π4,π4)B.(2,π4,5π4)C.(2,5π4,π4)D.(2,3π4,π4)解析设点M的直角坐标为(x...
