3.2.2复数代数形式的乘除运算[课时作业][A组基础巩固]1．已知复数z＝1－i，则＝()A．2iB．－2iC．2D．－2解析：因为z＝1－i，所以＝＝＝－2i.答案：B2．已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于()A．2B.C．－D．－2解析：(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2.答案：A3．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.答案：A4．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z＝＝＝1＋i，所以＝1－i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限．答案：D5．已知＝1＋i(为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：由题意得，z＝＝＝－1－i，故选D.答案：D6．下面关于复数z＝的结论，正确的命题是______(填序号)．①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数为1＋i；④z的虚部为－1.解析：z＝＝＝－1－i，所以|z|＝＝，z2＝(－1－i)2＝2i.z的共轭复数为－1＋i.z的虚部为－1，所以②④正确．答案：②④7．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝________.解析：∵z＝1＋i，则＝1－i∴＋i·＝＋i(1－i)＝＋i＋1＝2.答案：28．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.1解析：复数a＋bi(a，b∈R)的模为＝，则a2＋b2＝3，则(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3.答案：39．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数．(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．解析：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i∴z的共轭复数＝－2－4i(2)由(1)知，w＝z＋ai＝－2＋(a＋4)i∴|w|＝＝，|z|＝2.依题意，得20＋a2＋8a≤20，即a2＋8a≤0∴－8≤a≤0，即a的取值范围为[－8,0]．[B组能力提升]1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若z＝1＋2i，则＝()A．1B．－1C．iD．－i解析：因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.答案：C2．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()A．EB．FC．GD．H解析：由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．答案：D3．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.所以所以a＝.答案：4．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由复数相等的定义得2解得或从而|z|＝＝.答案：5．已知复数z＝.(1)求复数z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．解析：(1)z＝＝＝＝1＋i.(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以解得6．已知z，w为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.解析：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，∴7x－y＝0.①又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②由①②得或∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.3
