【成才之路】2016年春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题同步练习新人教B版必修5一、选择题1．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．10nmileB．10nmileC．5nmileD．5nmile[答案]D[解析]如图，由正弦定理，得＝，∴BC＝5.2．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为()A．B．2C．2或D．3[答案]C[解析]由题意画出三角形如图．则∠ABC＝30°，由余弦定理，得cos30°＝，∴x＝2或.3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB．akmC．akmD．2akm[答案]B[解析]∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝a(km)．4．(2016·三亚高二检测)有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸()A．5mB．10mC．10mD．10m[答案]C[解析]如图，在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴x＝10m.5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且1两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．10mB．100mC．20mD．30m[答案]D[解析]设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB、Rt△ADC中，求得BD＝30，DC＝30.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.6．(2016·南昌模拟)当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为()A．B．C．D．[答案]A[解析]连接BC．在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，∴sinθ＝.二、填空题7．两船同时从A港出发，甲船以每小时20nmile的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12nmile的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________nmile.[答案]28[解析]如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC＝28(nmile)．8．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______km.(精确到0.1km)[答案]5.2[解析]作出示意图如图．由题意知，则AB＝24×＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理，得＝，可得BS≈5.2(km)．2三、解答题9.如图，甲船以每小时30nmile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20nmile.当甲船航行20min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10nmile，问乙船每小时航行多少nmile?[解析]解法一：如图，连接A1B2，由已知，A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，由△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.∴B1B2＝10.因此乙船的速度的大小为×60＝30(nmile/h)．答：乙船每小时航行30nmile.解法二：如图，连结A2B1.由已知，A1B1＝20，A1A2＝30×＝10，∠B1A1A2＝105°，cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝.sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝.在△A2A1B1中，由余弦定理，得3A2B＝A1B＋A1A－2A1B1·A1A2·cos105°＝(10)2＋202－2×10×20×＝100(4＋2)．∴A2B1＝10(1＋)．由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝·sin∠B1A1A2＝×＝，∴∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2B2＝60°－45°＝15°，cos15°＝...
