高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.1.1 简单形式的柯西不等式 2.1.2 一般形式的柯西不等式课后练习 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题VIP免费

2016-2017学年高中数学第二章几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式2.1.2一般形式的柯西不等式课后练习北师大版选修4-5一、选择题1．已知3x＋y＝10，则x2＋y2的最小值为()A．B．1C．10D．100答案：C2．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为()A．B．4C．2D．解析：由柯西不等式知(2x＋y)2≤(＋)(3x2＋2y2)≤×6＝11，∴2x＋y≤.答案：A3．已知a，b，c，d，e是满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16的实数，则e的最大值为()A．3B．4C．5D．解析：∵(a＋b＋c＋d)2≤4(a2＋b2＋c2＋d2)，∴(8－e)2≤4(16－e2)，∴0≤e≤.答案：D4．下面几个不等式正确的个数是()(1)a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2；(2)a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da(a，b，c，d∈R)；(3)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2≥；(4)若a，b∈(0，＋∞)，则(a＋b)(＋)≥4.A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D二、填空题5．方程＋2＝的解为________．解析：将原方程变形为：15＝2≤[()2＋22]·＝15，其中等号成立的充要条件是＝，解得x＝－.答案：x＝－6．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋|a－|＋|a|＝0有实数，则a的取值范围是________．解析：∵二次方程x2＋x＋|a－|＋|a|＝0有实根，则由Δ＝1－4(|a－|＋|a|)≥0得|a－|＋|a|≤，由绝对值的几何意义知，0≤a≤.故填10≤a≤.答案：0≤a≤三、解答题7．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥.所以＋＋＋abc≥＋abc.而＋abc≥2＝2，所以＋＋＋abc≥2.8．设a，b，c，d为正数，a＋b＋c＋d＝1，求a2＋b2＋c2＋d2的最小值．解析：∵a，b，c，d为正数，∴由柯西不等式得(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2.∵a＋b＋c＋d＝1，∴4(a2＋b2＋c2＋d2)≥1，即a2＋b2＋c2＋d2≥.∴a2＋b2＋c2＋d2的最小值为.9．已知：α、β、γ为空间向量．求证|α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|.证明：|α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|.证明：设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，γ＝(c1，c2，c3)，则α－β＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，β－γ＝(b1－c1，b2－c2，b3－c3)，γ－α＝(c1－a1，c2－a2，c3－a3)，则|α－β|＝，|β－γ|＝，|γ－α|＝.结合空间三角形三边关系可得|α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|.2