专题3立体几何综合问题【三年高考】1．【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】92【考点】球与几何体的组合体【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.2.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】36【解析】试题分析：取SC的中点O，连接,OAOB因为,SAACSBBC所以,OASCOBSC因为平面SAC平面SBC所以OA平面SBC设OAr3111123323ASBCSBCVSOArrrr1所以31933rr，所以球的表面积为2436r【考点】三棱锥外接球3．【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【答案】（1）详见解析；（2）1【解析】试题分析：（1）取AC中点O，由等腰三角形及等比三角形性质得ODAC，OBAC，再根据线面垂直判定定理得AC平面OBD，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，结合平几知识确定ECAE，再根据锥体体积公式得，两者体积比为1:1.试题解析：（1）证明：取AC中点O，连OBOD, CDAD，O为AC中点，∴ODAC，2又 ABC是等边三角形，∴OBAC，又 OODOB，∴AC平面OBD，BD平面OBD，∴BDAC.【考点】线面垂直判定及性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.4.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,（Ⅰ）证明：1AO∥平面B1CD1;3（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.【答案】①证明见解析.②证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）取11BD中点F,证明1//AOCF,（Ⅱ）证明11BD面1AEM.(II)因为ACBD,E，M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,因为ABCD为正方形,所以AOBD,又1AE平面ABCD,BD平面ABCD所以1,AEBD因为11//,BDBD4所以11111,,EMBDAEBD又1,AEEM平面1AEM，1AEEME.所以11BD平面1,AEM又11BD平面11BCD,所以平面1AEM平面11BCD.【考点】空间中的线面位置关系【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行．5.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．【答案】详见解析5【解析】（II）因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC，由（I）知，PABD，所以BD平面PAC，所以平面BDE平面PAC.（III）因为PA∥平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE∥.因为D为AC的中点，所以112DEPA，2BDDC.由（I）知，P...
