第8讲函数与方程最新考纲1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识梳理1．函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(√)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(×)2．(2014·北京卷)已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)解析由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点，故选C.答案C3．(2014·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知1方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是()X－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析记h(x)＝f(x)－g(x)，依题意，注意到h(0)＜0，h(1)＞0，因此函数h(x)的零点属于(0,1)，即方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是(0,1)，故选B.答案B4．(人教A必修1P92A1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案A5．(2014·福建卷)函数f(x)＝的零点个数是________．解析当x≤0时，由x2－2＝0得x＝－(正根舍去)；当x＞0时，f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点，综上可知f(x)的零点个数为2.答案2考点一函数零点的判断与求解【例1】(1)(2014·唐山一模)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)(2)(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－，1,3}D．{－2－，1,3}解析(1) f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1＞0，∴函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正确；同理可验证B，D不正确，对于C项， f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0.故f(x)的零点位于区间(1,2)．(2)当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1.当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x.令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，得x3＝－2－，x4＝－2＋＞0(舍)，∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－，1,3}，故选D.答案(1)C(2)D规律方法(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定2区间两端点对应的函数值的符号是否相反．(2)根据函数的...
