高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法课后演练提升 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

2016-2017学年高中数学第一章推理与证明3反证法课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．用反证法证明命题“若a＞b，则＞”时，假设的内容是()A.＝B.＜C.＝，且＜D.＝或＜解析：“＞”的否定是“≤”，即“＝或＜”．答案：D2．如果两个实数之和为正数，那么这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数解析：若都不是正数，则两数之和一定不会是正数．答案：C3．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2解析：＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”．故选C.答案：C4．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，其中真命题个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：易知①③正确．②用反证法：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)与条件矛盾，故a＋b≥0，从而②为真命题，④类似于②用反证法．答案：D二、填空题5．若a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，ab＞0，则用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时，应假设为___________．答案：a、b、c不全是正数6．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为_________．答案：a≠1或b≠1三、解答题7．设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.证明：假设|f(1)|＜，|f(2)|＜，|f(3)|＜，则有1于是有由①、②得－4＜a＜－2，④由②、③得－6＜a＜－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0.证明：假设a≤0，即a＜0或a＝0.(1)若a＝0，则abc＝0，这与abc＞0矛盾；(2)若a＜0，则由abc＞0，知bc＜0，又因为bc＞－(ac＋ab)，所以－(ac＋ab)＜0，∴ac＋ab＞0，即a(c＋b)＞0，而a＜0，所以b＋c＜0，所以a＋b＋c＜0，这与a＋b＋c＞0相矛盾，综上所述，假设不成立，从而a＞0.9．如图，已知平面α∩β＝a，bβ，a∩b＝A，且cα，c∥a，求证：b、c为异面直线．证明：假设b、c不是异面直线，即b、c为共面直线，则b、c为相交直线或平行直线．(1)若b∩c＝P，已知bβ，cα，又α∩β＝a，则P∈(bβ)，且P∈(cα)，从而，交点P一定在平面α、β的交线上(公理二)，即P∈a，于是a∩c＝P，这与已知条件a∥c矛盾．因此b、c相交不成立．(2)若b∥c，已知a∥c，则a∥b(公理四)，这与已知条件a∩b＝A矛盾，因此b、c平行也不能成立．综合(1)(2)可知b、c为异面直线．2