1.3.1二项式定理A级基础巩固一、选择题1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.答案：D2．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项解析：Tr＋1＝Cx·x－＝C·x12－r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．答案：C3．若的展开式中第四项为常数项，则n＝()A．4B．5C．6D．7解析：由二项展开式可得Tr＋1＝C()n－r＝(－1)r2－rCx·x－，从而T4＝T3＋1＝(－1)32－3Cx，由题意可知＝0，n＝5.答案：B4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．207解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含x5的项的系数为：C－C＝207.答案：D5．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝5，n＝5B．x＝5，n＝4C．x＝4，n＝4D．x＝4，n＝3解析：Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，检验得B正确．答案：B二、填空题6．(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答)．解析：Tr＋1＝C·16－r·(－2x)r＝(－2)rC·xr，令r＝2，得T3＝(－2)2Cx2＝60x2.故x2的系数为60.答案：607.的展开式中的第四项是________．解析：T4＝C23＝－.答案：－18．如果的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________．解析：Tr＋1＝C()n－r＝Cx，由题意知r＝2时，＝2，所以n＝8.答案：8三、解答题9．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a1＋a2＋……＋a10；(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，故a1＋a2＋…＋a10＝－32.(2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.10．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项．解：Tr＋1＝C()n－r＝Cxn－r.由前三项系数的绝对值成等差数列，得C＋C＝2×C，解得n＝8或n＝1(舍去)．(1)展开式的第四项为：T4＝Cx＝－7.(2)当－r＝0，即r＝4时，常数项为C＝.B级能力提升1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．3B．5C．6D．10解析：展开式的通项表达式为C(3x2)n－r·＝C3n－r(－2)rx2n－5r，若C3n－r(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有2n－5r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为5.答案：B2．设二项式(a＞0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．解析：A＝C(－a)2，B＝C(－a)4，由B＝4A知，C(－a)2＝C(－a)4，解得a＝2(舍去a＝－2)．答案：23．如果f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m，n∈N*)中，x项的系数为19，求f(x)中x2项系数的最小值．解：x项的系数为C＋C＝19，即m＋n＝19，当m，n都不为1时，x2项的系数为C＋C＝＋＝m2－19m＋171＝＋171－，因为m∈N*，所以当m＝9或10时，x2项的系数最小，为81.2当m为1或n为1时，x2项的系数为C＝153>81，所以f(x)中x2项系数的最小值为81.3
