2016-2017学年高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法3.1综合法课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．若a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()A．a2＋b2≥2abB．a＋b≥2C．a2＋b2≥(a＋b)2D．＋<(a≠b)解析：a2＋b2≥2ab，a＋b≥2.a2＋b2－(a＋b)2＝a2＋b2－ab＝(a－b)2≥0即a2＋b2≥(a＋b)2.故选D.答案：D2．对于0＜a＜1，给出四个不等式：①loga(1＋a)＜loga；②loga(1＋a)＞loga；③a1＋a＜a1＋；④a1＋a＞a1＋.其中成立的是()A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④解析：∵0＜a＜1，∴0＜a＜∴1＜1＋a＜1＋，又∵0＜a＜1，∴loga(1＋a)＞loga，且a1＋a＞a1＋.答案：D3．p＝＋，q＝(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为()A．p≥qB．p≤qC．p>qD．不确定解析：q＝≥＝＋＝p.答案：B4．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则该三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：由sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．答案：D二、填空题5．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵a2－c2＝2－(8－4)＝4－6＝－＞0，∴a＞c.∵＝＝＞1，∴c＞b.答案：a＞c＞b6．已知a、b、u∈R*，且＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是________．解析：a＋b＝×(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，1当且仅当＝即3a＝b时取等号，若a＋b≥u恒成立，则u≤16.答案：(－∞，16]三、解答题7．已知a，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明：证法一：∵a，b>0，且a＋b＝1，∴a＋b≥2.∴≤.∴＋＝＝≥4.证法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0.＋≥2>0.∴(a＋b)≥4.又∵a＋b＝1，∴＋≥4.证法三：＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．8．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)．求证：A＝2B.证明：∵a2＝b(b＋c)，而cosA＝＝＝，cos2B＝2cos2B－1＝22－1＝22－1＝＝，∴cosA＝cos2B.又A、B是三角形的内角，∴A＝2B.9．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，又由于1
