二单峰函数一、基础达标1.关于单峰函数，有下列说法：①在区间[a，b]上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；②在区间[a，b]上的单调函数不是单峰函数；③对有关因素的最佳组合进行选择，这样的问题称为优选问题；④在试验范围内具有极值性的问题称为具有单峰性的问题.其中正确的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析①②④错误，只有③正确.答案B2.下列函数在区间[－10，10]上是单峰函数的为()A.y＝B.y＝cosxC.y＝2xD.y＝x3－x2－3x解析根据单峰函数的定义及规定知只有y＝2x在区间[－10，10]上为单峰函数.答案C3.已知f(x)＝2x3－6x2＋m在区间[－3，2]上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小()A.[－2，2]B.[－1，1]C.D.解析由f′(x)＝6x2－12x＝0，知x1＝0，x2＝2，所以最佳点是x＝0，所以C选项排除，由A，B，D的区间范围可知D的范围最小，故选D项.答案D4.若某单峰函数的存优范围是[1，4]，现在区间[1，4]上任取两点2，3，通过比较，2与3相比，2是好点，则此时的存优范围是__________.解析因为2为好点，舍去区间[3，4]，存优范围为[1，3).答案[1，3)5.在粉笔加工设计中，每支粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10cm至15cm范围内经过多次尝试，最后发现12cm长的粉笔最合适.根据上述描述，请回答下列问题：1(1)这个问题的可控因素是________；(2)这个问题的最佳点是________.解析(1)这个问题是优选问题.这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此可控因素是粉笔的长度.(2)本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即12cm.答案(1)粉笔的长度(2)12cm6.已知t＞0，则函数y＝的最佳点为__________.解析y＝＝t＋－4≥－2(t＞0)，当且仅当t＝1时，ymin＝－2.答案1二、能力提升7.说出下列优选问题中的可控因素.①购房者在选择适合自己的房屋时，会从房屋的位置、价格等不同特性进行对比，从中选择合适的房子.②调配葡萄酒时，需用两种原酒调配而成，如由赤霞珠、梅鹿辄组合成的干红葡萄酒，经过多次试验，确定两种原酒的最佳比例.③做馒头，碱放少了馒头会酸，碱放多了馒头会变黄、变绿且带碱味，碱放多少才合适呢？④为了加强钢的强度，要在钢中加入碳，加入太多太少都不好，究竟加入多少碳，钢才能达到最高强度呢？解(1)中的可控因素是位置、价格等；(2)两种原酒的比例；(3)加入碱的量；(4)加入碳的量.8.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)若f(x)在[0，＋∞)上单调，求a的取值范围.(2)若g(x)＝f(x)－3x在[－1，4]上是单峰函数，求a的取值范围.解(1)由f′(x)＝3x2＋6ax＋3≥0对任意x≥0恒成立，得－2a≤x＋⇒－2a≤2⇒a≥－1.(2)由g′(x)＝f′(x)－3＝3x2＋6ax＝3x(x＋2a)，由g′(x)＝0可得x＝0或x＝－2a. 0∈(－1，4)，所以－2a∉(－1，4)，∴－2a≤－1或－2a≥4，即a≥或a≤－2.故a的取值范围是(－∞，－2]∪.9.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元.它们与投入资金x万元的关系有经验公式P＝x，Q＝.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，2为获得最大利润，则对甲、乙两种商品的资金投入分别为多少？并说明此优选问题是否具有单峰性质.解设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为(3－x)万元，又设所获得的利润总额为y万元，由题意有y＝x＋，x∈[0，3].令＝t，则x＝3－t2，t∈[0，]，从而y＝(3－t2)＋t＝－＋，t∈[0，].当t＝∈[0，]时，ymax＝.即知x＝3－＝，3－x＝3－＝.因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元.这个优选问题中的目标函数，经过换元之后为有最大值的二次函数，而二次函数为单峰函数，因此这个优选问题具有单峰性质.三、探究与创新10.证明：若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点的同侧.证明下面仅对单峰函数f(x)上凸的情形进行证明.设点c为[a，b]上的单峰函数f(x)的最大值点，m，n∈[a，b]，且f(m)＞f(n).因为f(x)为单峰函数，所以f(x)在[a，c]递增，在[c，b]递减.(1)设...
